Álgebra linear para iniciantes: portas abertas para grandes carreiras

1. Leitura de introdução: Bem-vindo à álgebra linear para iniciantes, portas abertas para grandes carreiras. Meu nome é Richard Han. Este é um primeiro curso de álgebra linear. Se você é um profissional que precisa de uma atualização em álgebra linear ou um iniciante completo que precisa aprender álgebra linear pela primeira vez, este curso on-line para você Se você está ocupado horário não permite que você volte para um escola tradicional. Este curso permite que você estude em seu próprio horário e aumente seus objetivos de carreira sem ser deixado para trás. Se você planeja tomar álgebra linear na faculdade, esta é uma ótima maneira de chegar à frente. Se você está lutando atualmente com álgebra linear ou meia luta com ela no passado, agora é a hora de dominar. Depois de fazer este curso, você terá atualizado seu conhecimento de álgebra linear para sua carreira para que você possa ganhar um salário maior. Você terá um pré-requisito necessário para campos de carreira lucrativas, como ciência da computação, sinais de dados, ciência atuarial, financeira , matemática, engenharia, criptografia e Economia. Você estará em uma posição melhor para realizar um mestrado ou doutorado, acordo com nós usamos mapa dot org aqui. Alguns salários de alta qualidade para campos como Engenheiro Elétrico, $136.690 por ano, cientista da computação $168.776 por ano. E de acordo com Glassdoor dot com, o salário médio para um cientista de dados é de $118.709. Você está? Aqui estão alguns usos famosos da álgebra linear no aprendizado de máquina. Novamente, vetores podem ser usados para reduzir a dimensionalidade de um conjunto de dados usando uma técnica chamada Análise de componente principal. Na criptografia, as mensagens podem ser criptografadas e descriptografadas. Usando operações matriciais e em finanças. A análise de regressão pode ser usada para estimar relações entre variáveis financeiras. Por exemplo, a relação entre o retorno mensal para um determinado estoque e um retorno mensal para o S e P 500 pode ser estimada usando um modelo de regressão linear. O modelo pode, por sua vez, ser usado para prever o retorno mensal futuro do estoque dado. Neste curso, abordo os conceitos centrais como Ghazi,vetores de eliminação, vetores de eliminação álgebra matricial, determinantes, espaços vetoriais e subespaços 2. Sistemas de eliminação de Gaussian de 2 de em de e em as de e de: Ok, nesta seção, vamos olhar para a resolução de sistemas de equações lineares. Vamos olhar para o processo de eliminação Gaussiana, e tem três coisas que você pode fazer. Vamos olhar para o processo de eliminação Gaussiana, A primeira coisa que você pode fazer é mudar para equações. A segunda coisa é que você pode multiplicar uma equação por um número diferente de zero. A terceira coisa que você pode fazer é adicionar um múltiplo de uma equação a uma segunda equação. Ok, agora este conjunto de três coisas que você pode fazer é chamado galáxia e eliminação. Isso vai fazer muito mais sentido. Hum, se olharmos para alguns exemplos Ok, vamos fazer um exemplo aqui. Digamos que você tenha um sistema de equações como este. Então aqui você tem, um, duas equações e duas variáveis X e Y. Então este é um sistema de duas equações em duas variáveis. O que queremos fazer aqui é tentar nos livrar dessa variável X aqui, então vamos fazer negativo para vezes a primeira equação. variável X aqui, Adicione isso à segunda equação. Se você multiplicar a primeira equação por um quatro negativo, esta parte se tornará negativa para X que irá adicionar com este forex na segunda equação e dar-lhe zero X que irá cancelar a variável X. Então deixe-me multiplicar a primeira equação por quatro negativos. E então eu deixo a segunda equação como é agora aqui vemos negativo para X e vemos forex aqui. Vamos adicionar essas duas equações. Eu recebo zero X mais nove. Por que ele vai para menos quatro. Zero x é apenas zero. Então eu fico com nove. Por que ele vai para menos quatro. Vamos enxofre. Por que dividir os dois lados por nove e você ganha negativo para nove? Quero encontrar quais ex. Então, vou ligar isto. Por que o valor de volta em dois. A primeira equação X menos duas vezes quatro facas negativas. Ele vai para um agora Simplifique este enxofre X subtraindo 8/9 desses sites e eu recebo 1/9. Ok, então X é igual a 1/9. E por que é igual a negativo para nove durante a noite? Então estes são seus valores para X e Y, e isso é uma solução para este sistema de equações. Vamos fazer outro exemplo. Digamos que tivéssemos este sistema de equações. Vamos multiplicar a primeira equação por negativa também, e adicionar à segunda equação. Vamos multiplicar a primeira equação por negativa também, Ok, então nós vamos adicionar essas duas equações, eu recebo zero X mais zero y igual a um, e este lado esquerdo é igual a zero. Então temos uma contradição aqui, uma vez que temos uma contradição aqui e o conjunto original de equações não tem solução. Certo, vamos fazer mais um exemplo. - Tudo bem. Vamos tentar que isto seja negativo 14 para que as variáveis X cancelem. Vamos fazer menos duas vezes a primeira equação e adicioná-la à segunda equação. E a segunda equação permanece a mesma aqui. Ok, agora, vamos adicionar que eu recebo zero X mais zero y ele vai para zero, e então zero é igual a 20 Bem, isso realmente não me diz nada. Se você olhar para trás aqui, observe que a segunda equação é apenas o dobro da primeira equação. Então, realmente, nós só temos uma equação em apenas o 1º 1 A segunda equação é redundante. Então isto é tudo o que temos aqui. Esta é uma nota de equação? Por quê? Por que poderia ser qualquer coisa. Então vamos deixar por que ser algum parâmetro t algumas variáveis t Vamos ligar isso para o porquê aqui e insultar para X sete X mais cinco t egos, também. Para sair cinco toneladas para o outro lado. Divida os dois lados por sete. E isso é o que eu recebo. Então, o conjunto de todas as soluções vai ser o conjunto conjunto de todos os pares X e Y. Vamos escrever X em termos de chá, como nós vendemos para ele aqui e por quê? Por que é apenas chá e ele é uma variável livre. Então pode ser qualquer coisa pode ser qualquer número real. Então nós escrevemos como este t está em descida de números reais. Ok, então, um, o conjunto de todos os pares como este onde é qualquer número real? Essas são as soluções para este conjunto original de equações. 3. Sistemas de formas de de de Gaussian e de outra de: ok para um sistema de três equações e três variáveis que queremos resolver de forma semelhante , livrando-se das variáveis uma por uma. Até termos uma forma triangular. Vejamos um exemplo. Ok, então este é o nosso sistema de equações. Temos três equações e três variáveis. X, y e Z Observe isso na segunda equação. um TemosumX negativo. E se adicionássemos isso à primeira equação, os ex termos cancelariam. Então vamos fazer a primeira equação. Adicione isso à segunda equação. Certo, a primeira equação permanece a mesma. Agora, vamos substituir essa segunda equação tomando o resultado de adicionar a primeira equação à segunda equação. Então vamos obter zero x mais três y mais quatro z. essa terceira equação apenas permanece a mesma. Então, vamos reescrevê-lo aqui em baixo. Está bem? Agora, vamos tentar nos livrar desse ex termo aqui em baixo nessa equação de sujeira multiplicando a primeira equação por menos três. Então isso vai ficar assim menos três vezes a primeira equação, mais a terceira equação. Ok, Sue, vamos deixar a primeira equação como está, a segunda equação permanece a mesma. Agora aqui, nós vamos obter menos três X mais três x de modo que isso vai dar-lhe zero x para que não teremos um próximo termo. Temos menos três Y menos três fios, que é menos seis Y menos três Z mais Zia menos dois Z e depois menos três vezes zero, que é zero menos um, que é menos um. Ok, então vamos ver isso aqui em baixo. Estas duas equações, vamos tentar cancelar o termo por quê? Ok, nós queremos este três aqui, o coeficiente para ser seis, que quando adicionarmos ao menos seis, por que eles cancelem. Então vamos multiplicar a segunda equação aqui por dois. Ok, então duas vezes uma segunda equação, um, adicionar isso à terceira equação. Certo, então tudo bem, vamos reescrever a primeira equação. A segunda equação permanece a mesma. E então aqui temos Ah, seis y menos seis. Por quê? Que é zero i A Z menos dois z, que é 60 e depois menos um, que é um. Ok, então agora olhe para este cigarro e queremos que o coeficiente seja um. Então vamos dividir-nos. Dividam-se por seis. Então vai ser 16 vezes na terceira equação. Então é reescrever tudo aqui e nós temos Z. Ele vai até você 16 Olhe para o coeficiente de por que, nesta segunda equação, queremos que seja uma. Então vamos dividir a segunda equação por três. Então se perguntou vezes uma segunda equação. Ok, então agora temos este conjunto de equações, todos os coeficientes dessas variáveis principais aqui ou uma. Ok, agora, quando você tem esta forma triangular aqui, nós reduzimos a esta forma triangular. Todas as variáveis na frente têm coeficiente um. Então dizemos que está na forma de Rhode Echelon. Certo, rema no formulário Chalon. Ok, então isso é este ano, esta forma triangular. Se conseguirmos que o sistema de equações se pareça com isso e todos os coeficientes Air um, dizemos que está em linha. Excelente forma. Tudo bem, vamos fazer outro exemplo. Digamos que você tenha esse conjunto de equações. Ok, vamos tentar nos livrar desta variável X aqui multiplicando a primeira equação por negativo três menos três vezes a primeira equação e adicionar isso à segunda equação. O que é que vamos conseguir? Ok, então deixe a primeira equação como ISS aqui temos, um, menos três X mais três X, que é zero X aqui temos menos três vezes menos dois, que é seis. Então teremos seis y mais dois I, que é oito y menos 15 z. meu é E, que é 16 z e, em seguida, menos seis menos dois, que é menos oito. Ok, então aqui nós acabamos com este sistema de equações. Olhe para esta segunda equação aqui. Note que Z pode ser qualquer coisa, então deixe Z b t. E ele é uma variável livre. Vamos ligar isso para Z aqui. E assim, por exemplo. Certo, vamos dividir por oito. E eu entendo por que, em termos de chá, Ok, então nós já temos Z. Nós temos o porquê, e agora nós queremos resolver para X. Então vamos usar essa primeira equação aqui e conectar o que temos para por que isso foi para t menos um. Z era T. Então vamos ligar isso aqui. Está bem? E simplifique. Então pegamos X mais dois mais T. Ele vai para os dois, cancela de cada lado. Subtrair t de ambos os lados. Temos que executar su menos t. Ok, então X é menos t. Por que é t menos um? E Z é t Então nós temos o conjunto de todos, uh, pontos como este onde t é qualquer número real, ok, ele é uma variável livre. Então, todos os pontos deste formam nossas soluções para o conjunto original de equações. Certo, vamos fazer mais um exemplo. - Ok , vamos olhar para as duas primeiras equações. Se pegarmos a primeira equação e subtrairmos a segunda equação, podemos nos livrar desse termo X. Então vamos fazer e um menos e para. Certo, então vamos reescrever a primeira equação. E aqui vamos pegar a primeira equação e subtrair a segunda equação. Então aqui os extremos cancelam. Entendemos o porquê, menos Weiss. E isso é na verdade para I. E então menos Z menos Z, que é menos dois Z. Aqui temos zero menos um, que é um negativo, e a equação de sujeira permanece a mesma. Ok, agora olhe para a primeira equação e a terceira equação. Queremos nos livrar desse termo X. Então vamos multiplicar a primeira equação por negativo. Demasiado negativo, também. Vezes a primeira equação. E adicione isso à terceira equação. Tudo bem. Está bem. Então menos dois X mais dois X zero X menos dois I mais por que está menos um aqui? Nós vamos ter que z meu é ele que é apenas ver zero mais zero, que é zero. Ok, vamos olhar para estas duas últimas equações aqui. Vamos tentar nos livrar do termo Y aqui em baixo. Então vamos fazer a segunda equação, Kate. Isso é este ano. A segunda equação. Mais duas vezes a terceira equação. Certo, vou reescrever tudo aqui. Está bem? Para essa terceira equação terá que I menos dois y, que é seu aliado. Ok, vamos ter menos dois Z mais dois Z, que é zero Z. Então tudo no lado esquerdo é zero menos. Um mais zero é menos um. Ok, então temos uma contradição aqui. E uma vez que chegamos a uma contradição, sabemos que o conjunto original de equações não tem solução. Certo, sem solução. 4. Operações de fileira: nesta palestra, vamos olhar para operações de linha elementar. Podemos reescrever um sistema de equações usando uma matriz. Então, por exemplo, olhe para este sistema de equações. Nós realmente resolvemos este sistema de equações em uma palestra anterior, podemos executar uma matriz que encapsula seu sistema de equações. Ok, agora, a maneira como fazemos isso é olhar para os coeficientes das variáveis neste sistema de equações. Então olhe para a primeira equação. Vemos que os coeficientes são 11 e 1. Certo, então vamos fazer isso aqui. Um, um e um. No lado direito, temos o zero constante, então vamos corrigir isso aqui. Certo, agora passe para a segunda equação. Vemos que os coeficientes são negativos. Um para e três. Certo, então vamos direcionar aquele da OTAN para entrar no lado direito, nós temos um. Certo, vamos passar para a terceira equação. Os coeficientes são três menos três e um. Ele disse três menos três e um. O termo constante é negativo. Então vamos fazer isso aqui. Ok, então essa matriz que acabamos de formar é chamada de matriz Augmentin. Ok, agora podemos resolver o sistema usando as mesmas três operações que usamos anteriormente. Em vez de executar operações em equações, podemos executar operações em linhas. As operações são chamadas operações de linha elementar. Ok, a primeira coisa que você pode fazer é mudar para Rose. A segunda coisa que você pode fazer é multiplicar uma linha por um número diferente de zero. E, finalmente, a terceira coisa que você pode fazer é adicionar um múltiplo de uma linha a uma segunda sala. Estes são exatamente os mesmos três passos que você viu mais cedo na galáxia e eliminação. Ok, deixe-me escrever essa matriz de novo. A matriz aumentada waas 11 10 menos 12 três e um três, menos três um e menos um. Ok, então esta era a nossa matriz aumentada. Vejamos as primeiras 2 linhas. Se adicionássemos essas duas linhas, notássemos a da negativa, elas cancelariam aqui. Então vamos fazer isso é remar um mais estrada para, e que será a nossa nova estrada para Ok, disse que a primeira estrada apenas permanece o mesmo. A segunda fila. Nós adicionamos essas duas linhas, então obtemos zero três, quatro e um. A estrada de terra continua a mesma. Ok, agora vamos olhar para a terceira estrada ali. Queremos nos livrar desses três. Então a maneira de fazer isso é pegar menos três vezes uma linha e depois adicionar isso à linha três. Ok, então vamos fazer menos três. Fila um, mais linha três. Está bem. Isso vai dar-nos a nossa nova linha três. Deixe-me escrever isso aqui. Está bem. As 2 primeiras filas, eles apenas permaneceram as mesmas. Ele vai reescrever aqui. Agora. A terceira linha, eu recebo menos três mais três, que é zero menos três menos três, que é menos seis menos três mais um, que é menos dois zero mais um negativo, que é um negativo. E isso é o que eu recebo. Certo, vamos nos concentrar na segunda e terceira equações. Queremos tentar nos livrar daquele menos seis lá. Mas se multiplicássemos o segundo papel por dois, teríamos um seis aqui, certo? E então nós seremos capazes de adicionar isso a esta terceira equação e cancelar que menos seis. Certo, então vamos fazer isso. Eu também. vezes escreveu para mais linha três que nos dará o nosso novo papel. Três. Ok, deixe-me reescrever isso aqui. Ok, então nós tivemos que ir para o papel 3 mais para obter a nossa nova linha três. Está bem, deixa-me fazer isso aqui. Está bem. Então isso vai nos dar seis menos seis, que é zero. Ok, oito menos dois. Que seis? Tu menos um, que é um. Está bem. Tudo bem, vamos ver isso. Terceira fila. Queremos este coeficiente. Seis para ser um. Então vamos dividir por seis. Está bem? Divida a terceira fila por seis. Agora, para nos dar o nosso novo terceiro quarto. Está bem? E isto é o que temos aqui. Muito bem, vamos ver a segunda fila. Está bem? Olhe para o coeficiente três. Queremos que seja um. Então vamos dividir a segunda fila por três. Ok, esse será o nosso novo segundo quarto. Está bem, deixa-me fazer isto aqui. Está bem. Então eu dividi tudo por três naquele segundo quarto. OK? Aviso. Aviso. Esta forma triangular aqui desta matriz e todos os coeficientes ao longo desta parte diagonal é um. Ok, quando você tem isso, quando você tem este tipo de forma e todos os coeficientes ao longo desta linha diagonal aqui, nosso ou um. Então dizemos que está na forma petulante fileira Ok escreveu na forma Chalon. 5. Exemplo de de linha: Vamos fazer um exemplo adicional. Certo Certo , digamos que tivéssemos esse sistema de equações. Vamos à direita. A matriz aumentada. Olhe para a primeira equação. Não há Ekstrom aqui, então o coeficiente é zero. O coeficiente para o sábio. E o coeficiente da Zia. Certo, vamos para a segunda equação. Seus coeficientes são um menos um menos um. O termo constante é um do lado direito. Bem aqui. Vamos passar para a terceira equação. Temos que fazer e menos um. E o custo. Inter mistério. Ok, olha para a primeira fila aqui. Há um zero no topo. No canto superior esquerdo. Não queremos um zero lá. Queremos um. Então vamos trocar o primeiro. A primeira fila com a segunda sala. Ok, então pegue a primeira estrada, troque com a segunda fila, então nós pegamos isso. Ok, vamos olhar para esta linha agitada aqui. Ah, nós temos um dois. Queremos nos livrar disso também. E torná-lo zero. Então podemos fazer isso multiplicando o primeiro arremesso por negativo também. E acrescentando isso ao terceiro quarto. Isso nos dará nosso novo caso da terceira fila. Ele vai obter zero um aqui terá menos duas vezes um negativo, que é dois mais dois é quatro tu menos um, que é um menos dois mais três, que é um. Certo, então é com isso que vamos acabar aqui. Não, vamos tentar livrar-nos dos quatro aqui em baixo. Ok, vamos tirar menos quatro vezes que escreveu. E adicione isso à linha três para nos dar a nossa nova linha três. Ok, deixe-me reescrever isso aqui. Então nós fizemos. Menos quatro. Estrada para a linha 3. Ok, isso é bem aqui. Ok, então vamos obter zero menos quatro mais 40 menos quatro mais um é menos três zero mais um é um. Ok, então parece muito bom aqui. Exceto que a última pesca clo é menos três. Queremos que seja um. Então vamos dividir por menos três. A terceira fila para nos dar o nosso novo terceiro quarto. Certo, então dividindo por menos história aqui, papai nos deu um aqui. No lado direito, obtemos menos 1/3. Ok, então repare nesta forma triangular aqui, ok? E todos os coeficientes são um ao longo desta diagonal, por isso é apenas na linha H forma 6. Operações e combinações em vetores e combinações lineares: nesta palestra, vamos aprender sobre operações vetoriais e combinações lineares. Certo, então o que é um vetor? Um vetor é uma lista de números reais. Certo, então um vetor é uma lista de números reais. Ok, isso é basicamente quando um vetor é, um, vamos olhar para um exemplo, então vamos chamá-lo v que zero e menos dois. Este é um vetor em nossos dois são apenas simboliza o conjunto de todos os pares em, hum, são também. Então, vai ser pares como este onde cada uma dessas entradas são números reais, e são nossos dois porque havia apenas duas entradas aqui. Vamos ver outro exemplo Diga o vetor você 03 e menos dois. Aviso. Este vetor tem três entradas. Então este é um vetor em nossos três. Ok? Agora queremos ser capazes de adicionar dois vetores. Então, como fazemos isso? Ok, nós podemos em dois vetores Ah um e u dois. Digamos que você ganhou, e você também. Podemos adicionar dois vetores apenas adicionando suas entradas correspondentes. Vamos dar uma olhada. Por exemplo, digamos que você ganhou é igual a dois este vetor 03 menos 22. E você também. Este vetor é sete a cinco. Agora queremos adicionar um mais você também. Bem, nós acabamos de formar o vetor que você obtém quando você adiciona as entradas correspondentes em cada vetor. Olhe para a primeira entrada, aquele zero. Eles vão adicionar isso a sete. Então, são sete. Então você tem a segunda entrada, que é três. Adicione isso à segunda entrada aqui, que é para isso que vai te dar cinco agora para a terceira entrada, menos 22 mais 5, que é menos 17. Ok, bem simples. Quando você quiser adicionar dois vetores, basta adicionar as entradas correspondentes em cada um desses vetores que lhe dará a alguns a adição desses dois. Agora também podemos multiplicar um vetor por um scaler. Ele é escalador. Veja um scaler é apenas outro. Outra maneira de dizer o número do Rial. Então C é um número real. Então queremos multiplicar um vetor por um número real. C. Vamos dar um exemplo. Digamos que C era oito e vetor V é um menos 12 Ok, queremos ver Vezes V, que é oito vezes o vetor V e a maneira como multiplicamos um vetor por um scaler é apenas multiplicar cada entrada por esse scaler. Então é muito natural. É a coisa óbvia a se fazer. Basta multiplicar cada termo. Então isso é oito menos oito e 16. Ok, não, Se nós temos um conjunto de vetores um conjunto de vetores v um v dois pontos ponto ponto VK Ok, um conjunto de vetores como mas e escala er se ver um ver e todo o caminho para CK. Então veja um V um mais C dois V dois oops, mais ponto, ponto ponto mais C K v K. Isso é chamado de combinação linear. Limpe sua combinação. É uma combinação linear de V 1 a VK e a constante C 1 a C K. Esses ar chamados pesos. Ok, um ver um vezes V um mais C dois vezes V dois mais ponto, ponto ponto ponto mais ck vezes. O VK. Toda essa expressão é chamada de combinação linear Ah v um a V K. E esses coeficientes c um C dois, etc todo o caminho para ck aqueles ar chamados de pesos. Vamos dar uma olhada em um exemplo. Ok, então aqui vai um exemplo. Vamos um V um é este V dois é este e V três está bem? E quanto à escala? Er vê um. Digamos que é um. Si dois é três. E digamos que C três é menos cinco. Ok, então vamos formar a combinação linear. Veja um V um mais C TV também. Mais C três V três. Certo, é uma combinação linear. Sua combinação dos vetores B um, V dois e vitória com pesos um três e cinco negativos. Ok, não, nós podemos simplificar esta combinação linear aqui. Se pudéssemos ligar todos esses valores aqui e vetores V um a V três. Isto é o que vamos conseguir. Então vamos obter um vezes 112 mais três vezes zero menos 10 mais negativo cinco vezes 222 Agora sabemos como multiplicar um scaler de um vetor. Então vamos em frente e fazer isso aqui. Então temos 112 zero menos três zero mais menos 10 menos 10 menos 10 menos 10. Ok, agora nós simplesmente queremos adicionar esses três vetores então nós vamos apenas ir em frente e adicionar cada uma dessas entradas. Então um mais zero menos 10 que é menos nove. Que um menos três menos 10. Isso é menos 12. Dois mais zero menos 10 que é menos oito. Ok, então nós fomos em frente e simplificamos essa combinação linear. E nós temos este outro vetor aqui para encontrar um resultado. Também podemos multiplicar um vetor X por uma matriz. A Então, por exemplo, digamos que a foi esta Matriz e X foi o vetor 5 a 4. Podemos multiplicar a matriz A para o vetor X assim. Certo, colocamos o vetor X ao lado da matriz A. A maneira como multiplicamos esses dois vetores é nós primeiro. Olha, eu sinto muito. A maneira de multiplicar A Matriz com o vetor é primeiro olhar para a primeira linha e multiplicar a primeira entrada aqui no único. Multiplique isso para cinco. A primeira entrada neste vetor Faça o mesmo com zero nec corresponde a e multiplica-se a quatro. Então o que temos é um vezes cinco mais zero vezes dois mais duas vezes para que fazer a mesma coisa com a segunda linha aqui. Então três vezes cinco mais um vezes dois mais negativo um vezes quatro. Ok, vá para a terceira fila aqui duas vezes cinco mais dois vezes dois mais zero vezes por agora, apenas simplifique aqui, então nós vamos ter cinco mais oito, 15 mais dois menos quatro 10 mais quatro mais zero, e obtemos o resultado final depois de adicionar esses termos. 7. Equações de vetor e a matriz e a de equações: agora estamos prontos para olhar as equações vetoriais e a equação Matrix. X é igual a dois b Lembre-se do sistema de equações X mais Y mais C é igual a zero menos X mais dois Y mais três z. ele vai para um três X menos três y mais Z igual a menos um. Resolvemos este sistema de equações em uma palestra anterior. Só quero que se lembre que olhamos para este sistema de equações. Agora podemos reescrever isto da seguinte forma. Olhe para esta parte aqui. Podemos pensar nisso como uma coluna. Ok, então vamos à direita, uh, X menos X três X . Agora olhe para os termos brancos. Pode ser uma coluna. Isso é certo. Por quê? Para eu menos três. Por que agora? Olhe para os termos Z. Isso mesmo, isso como uma coluna. Ok. E os números do lado direito, vamos acertar que, como eles o chamam, ok, agora leva. Fator essa variável x aqui, então puxe a mesma coisa com a variável y. Puxe isso para fora e tonta. Variável. Puxe isso para fora. Ok. Agora olhe para esta equação inferior aqui. Então, para perguntar se há uma solução para o sistema de equações são sistema original aqui em cima. É o mesmo que perguntar se podemos escrever 01 menos um. Este vetor de coluna. Se pudermos escrever isso como uma combinação linear dos vetores de coluna aqui. Ok, então a coluna foi levada para vetores de coluna da matriz de coeficientes do sistema original de equações. E, uh, nós escrevemos aqui como uma combinação linear, e X, y e Z, esses são os pesos. Ok. E 01 menos um. Isso é apenas o vetor de coluna de Constance que temos no lado direito da equação original. Agora vamos definir a extensão. A extensão de um centavo de vetores é combinações lineares diestíveis desses vetores. Assim, queremos saber se o vetor 01 menos um que queremos saber desse vetor está no span. Está no espaço daqueles vetores de coluna que tínhamos anteriormente. Ok, lembre-se, vamos voltar aqui, ok? Estávamos olhando para esta chamada sobre Victor e estávamos dizendo que para encontrar uma solução para a equação original é como, é como perguntar, podemos certo? Esta coluna Vector como uma combinação linear das colunas desta matriz de coeficiente aqui em cima . Então estas são duas colunas bem aqui. Os vetores de coluna. E nós estávamos perguntando, podemos corrigir este vetor constante no lado direito como uma combinação linear das colunas da matriz do coeficiente original para este sistema de equações? Ok. Mas isso é apenas perguntar o mesmo que, hum, se este vetor de coluna está no espaço desses vetores de coluna, isso é apenas por definição de span. Note que a equação vetorial uma umaequação vetorial que tínhamos anteriormente apenas reescrevendo aqui. Sei que esta equação vetorial pode ser escrita como uma equação matricial como esta. Sei que esta equação vetorial pode ser escrita como uma equação matricial como Então pegamos as colunas e formamos a Matrix tendo essas colunas, e então pegamos os pesos X, y e Z colocamos aqui como um vetor de coluna. E do lado direito, temos o vetor constante. Ok, agora o lado esquerdo aqui, um, nós queremos ver o que acontece quando multiplicamos este L usando multiplicação de matriz. Então, o lado esquerdo. Se multiplicarmos isso, conseguiremos isso e podemos reescrever isso como algumas das colunas. E isso é igual a isso. Se considerarmos as variáveis. Certo, agora isso aqui. Lembre-se, essa é apenas a combinação linear dos vetores de coluna. E isso aqui. Ok, nós mostramos que esta coisa aqui é exatamente o que temos no lado esquerdo aqui em baixo na equação matricial. Então, realmente, esta equação pode ser reescrita assim usando uma matriz. E isso é o que mostramos aqui. Ok, então deixe-me repetir o que está acontecendo aqui. Nosso sistema original de equações pode ser reescrito como uma equação matricial. A X Ele vai ser onde a é a matriz de coeficiente, seu coeficiente, matriz seu coeficiente, e x X é a coluna Vector Colin Vector de pesos, que se parecia com este x, y e z e ser que coluna Vector. Do lado direito está a nossa chamada no vetor. Essa é a nossa coluna. Vetor de Constança, que era zero um menos um 8. Independência linear: nesta palestra, quero introduzir a noção de independência linear. Deixe V um através VK ser vetores em r n. Ok, RN é apenas o cheiro de vetores que têm n entradas. Então lá. Então, cada um desses vetores que queremos VK eles são eles vão ser listas de n números reais . Em seguida, o conjunto V um para V. K é linearmente independente, linearmente independente Apenas no caso da equação vetorial, Ver um V um mais ponto i dy c k v k é igual a zero Se essa equação vetorial tem em Lee a solução trivial em um solução trivial sendo onde todas as constantes são zero Ok, então a única Constance C 1 a C k que tornam essa equação vetorial verdadeira são aquelas que eram zero em todos os lugares. Então C um c dois c k. Eles são todos zero. Essa é a solução trivial. , Caso contrário, o conjunto é dito ser linearmente dependente, linearmente dependente. Ok, então se de 1 a C K, eles não têm que ser todos zero. Se como um deles era se diferente de zero e dis equação ainda era verdade, então o conjunto original de vetores que queremos ser K. Eles dizem ser linearmente dependentes. Observe a equação vetorial. Veja um V um mais ponto, ponto ponto mais C K v k. Note que essa equação vetorial pode ser reescrita como um X é igual a zero. Nós somos um A é a matriz com o um através de VK, como fez chamada e ah como as colunas dessa matriz. Então, se colocarmos V um para V. K assim como colunas e formar a Matrix assim, então isso é que é uma direita ali e o X ouvir esse vetor Isso vai ser nossa constante C um através C k esses ar como os pesos. Ok, então esta equação vetorial, pode ser reescrita como uma equação de matriz como esta, um X é igual a 20 Ok, há apenas apenas uma maneira nativa inalterada de escrever isso, mas eles são os mesmos 9. Exemplo de independência linear 1: Vamos fazer um exemplo. Determine se o conjunto V um, V dois e V três é linearmente independente. A primeira visão vetorial um é dado como este espectro e V dois é dado aqui e nós temos os três. Certo, então queremos saber se esse conjunto de vetores é linearmente independente. Vamos, hum, vamos formar a matriz para a Matrix que tem V um, V dois e V três como colunas. Certo, então vamos pegar o V 1 e formar a coluna. Pegue V dois para ele. A segunda coluna e vitória para que lá Colon. E queremos saber o que é C um C dois e C três. Este é o nosso vetor de chamada dos pesos C um, C dois e C três que igual a zero o vetor zero, que tem zeros em cada entrada. Agora queremos saber se este sistema de equações tem Onley a solução trivial. Ok, vamos formar a matriz aumentada e então vamos tentar fazer um monte de operações Roe nesta matriz aumentada para vender para a solução. E se obtivermos a solução trivial, então sabemos que essa seria a única solução e então o conjunto original de vetores seria linearmente independente. Se descobrirmos que este sistema de equações realmente tem soluções não triviais, então sabemos que o conjunto original de vetores é linearmente dependente. Ok, então vamos olhar para as duas primeiras filas. Ok, vamos adicionar as 2 primeiras linhas. Assim como um mais R dois. Isso vai dar-nos a nossa nova linha. Dois. Olhe para a segunda e terceira rosa. Vamos pegar a segunda linha e subtrair a terceira linha e vamos fazer que a nossa nova terceira linha Olhe para a segunda linha Aviso. Sete é um coeficiente de liderança. Vamos fazer disso um. Então, dividam-se por sete. Ok, olhe para a segunda fila aqui. Observe que a variável para C três é livre. Pode ser qualquer coisa. Então vamos ver. Três b t ah, um parâmetro livre. Agora, a partir da segunda linha, sabemos que C dois mais C três é zero. Então, ligando T para o júri de sementes e enxofre C 2. Ok, nós obtemos menos t da primeira linha, nós temos C um mais três c dois mais 13 c três ecos é Aargh Plug in menos T para C dois conectando T para C três e simplificar. Então, para C um e eu recebo menos 10 t. Ok, então agora temos C um, C dois e C três. Vamos ligar os valores para cada um desses. Consulte os valores. Nós temos menos 10. T menos T e T. Vamos fatorar 80. Está bem, senhor. São um conjunto de soluções. Parece com isto. São todos múltiplos deste vetor menos 10 menos 11 Então há um monte de soluções aqui, e, hum , e hum lá eles são não-triviais, que significa que eles não são zero. Eles não são. Vetor zero. Ok, agora, como o sistema tem uma solução não-trivial, a vitória do set V um V dois é linearmente dependente. Então, por exemplo, vamos deixar tv um, então C um é menos 10. Si dois é menos um. C três é um que é de ligar anti. Vai para um aqui. Ok, então eu só teria menos 10 menos 11 para os meus valores C. Ok, isso é o que eu tenho aqui. Lembre-se que esta equação de matriz é equivalente à equação vetorial, que tem uma combinação linear dos vetores de coluna desta matriz e espera C um, C dois e C três. Então teríamos C um v um mais c dois v dois, mais C três Vitória ECOSOC Herói Plugging os valores para C Obtemos menos 10 V um menos V dois mais V restaurante ik o César. Então esta equação vetorial aqui é verdadeira e, portanto, temos uma relação de dependência mais enxuta entre os vetores v um, V dois e v três. 10. Exemplo de independência linear 2: Vejamos um segundo exemplo. Suponha que você recebe vetores V um, V dois e V três e você quer determinar se esses vetores são linearmente independentes. Vamos formar a matriz aumentada usando os vetores como colunas e o lado direito seria a coluna de zeros. Agora vamos tentar resolver esta matriz aqui, esta matriz aumentada. Certo, olhe a fileira um e a linha três. Se adicionássemos estas rosas, teríamos um zero. Então vamos pegar a fileira um, mais a fileira três. Faça da nossa nova linha três. Vejamos o aviso da segunda fila. O coeficiente principal também é . Vamos fazer disso um. Dividam-se por dois no caminho até agora . Olhe para a segunda fila e terceira sala. Vamos multiplicar esta segunda linha por menos três, depois adicionado à terceira linha. Ok, então isso vai nos dar menos três mais árvore, que é zero seis mais oito. Isso é 14 zero mais 00 Então acabamos com isso aqui da terceira fila. Conhecemos 14. C três é zero. Então C 30 da segunda fila. Sabemos que C dois menos dois C três é zero, mas ver 30 Então nós obtemos C a zero. A partir da primeira linha temos C um mais três c dois mais quatro c três ecos é Eero. Mas sabemos ver um zero e C 30 Então ver um é zero desde C um e ver e C três são todos zero. Sabemos que o conjunto original do vetor é V um, V dois e V três são linearmente independentes linearmente independentes. 11. Adição de operações de matriz e a multiplicação de de escala: nesta palestra, vamos olhar para as operações Matrix. Mas primeiro queremos saber o que é uma Matrix e e por N Matrix é uma matriz que se parece com isso. Então a primeira entrada é um 11 O próximo depois é um sub 12 todo o caminho até o alcance. Um sub um n No segundo papel, temos os termos ace até um ás até 22 ponto um ponto Asep para terminar, e vamos até chegar a um sub m um, seguido por um sub m dois todo o caminho até o alcance. Asep m n. Então há M Rose aqui e n colunas. Isso é o que faz isso. E por n matriz, podemos adicionar a bein trresses se eles têm o mesmo tamanho. Então, por exemplo, digamos que tivéssemos essas duas matrizes e queremos adicionar essas duas matrizes. Nós apenas ir em frente e olhar para cada uma das entradas correspondentes dois mais zero. Nós apenas para menos um mais zero, que é menos um zero mais oito e então passamos para a próxima linha. Então um mais oito é nove um mais dois. História, menos um mais três é também. Então, adicionar duas matrizes é bastante simples. Agora também podemos multiplicar uma matriz por scaler. Então vamos fazer um exemplo que, digamos, o scaler era três. E digamos que a Matriz A é dada por isso. Certo, vamos ver o Tempo A, que é três vezes a matriz A e a forma como multiplicamos um dedo do pé escalador. Uma matriz é apenas pegando esse scaler e multiplicando cada entrada na Matrix por esse número, então três vezes menos um é meu. História. Três vezes dois é seis, três vezes quatro é 12 três vezes 00 e três vezes. Um é três e três vezes um é três. Vamos fazer outro exemplo. - Ok , então vamos multiplicar. Ver tempos A. Então isso é negativo. Duas vezes essa matriz, vamos em frente e multiplicamos esses dois negativos em cada entrada dentro, e é isso que temos. Podemos definir subtração de duas matrizes, a menos bi. Podemos definir isso como um “plus”. Negativo uma vez ser, por exemplo, Vamos ver é dado por isso e ser é isso. Digamos que queremos encontrar um bi menos. Bem, isso é apenas uma vantagem. Negativo uma vez estar bem, então vamos multiplicar aqui por um negativo. E agora nós apenas adicionamos 12. Multiplication de operações de matriz: Nós também podemos multiplicar duas matrizes A e B Enquanto o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Vamos dar uma olhada em um exemplo. Digamos, é uma matriz de dois por três. Digamos que B é uma matriz de três por dois. Agora vamos multiplicar uma vez B. Isso nos dará um aviso de matriz de dois por dois que o número de colunas para A é três. E isso combina com o número de linhas de ser. E precisamos disso porque vamos multiplicar cada entrada com sua entrada correspondente aqui. Então um alinha com 13 linhas acima com um menos um alinha com menos um. Certo, então vamos multiplicar essas entradas correspondentes e adicioná-las. Então temos um mais três mais menos um vezes menos um, que é um. Então isso vai ser cinco. Ok, agora, ficando com isso, hum, primeira linha, vá para a segunda coluna e vá em frente e multiplique cada entrada correspondente. Temos zero mais zero menos um. Ok, agora vamos para a segunda linha aqui e usar a primeira coluna e ficar bem, multiplicar isso. Nós obtemos zero vezes um, que é zero mais dois menos dois, o que dá um zero. Ok, agora, para esta última entrada aqui, nós usamos a segunda linha e vamos para a segunda coluna de B. Então isso vai dar um zero mais zero mais dois. Então, este é o nosso resultado de multiplicar uma vez B. Agora, e se tivéssemos um ver matric, que é comprar três? Então não podemos multiplicar. Não podemos multiplicar um e ver. Lembre-se a era esta matriz e C é isso. Olhe para o número de colunas para um que é três. Então olhe para o número de linhas para C, que é para, e eles não correspondem a um, então não podemos multiplicá-los. Ok, esta matriz A é comprar três ver, é por três também. E já que três não combinam com dois, não podemos multiplicar essas duas matrizes. Se o número de linhas é o mesmo que o número de colunas, então a matriz é chamada de matriz quadrada e podemos multiplicar duas matrizes quadradas em qualquer ordem. Vamos fazer um exemplo. Então, digamos que tivemos um dado como esta matriz aqui. Digamos que B foi isso. Então podemos multiplicar uma vez B. Ok, então temos duas colunas aqui para subir. Então eles combinam. Agora multiplique as entradas correspondentes. Temos seis mais zero, que é seis menos dois mais zero três menos quatro menos um mais zero. Então, conseguimos isto. Vamos tentar multiplicar B vezes A no rio. Ordem inversa. Então, aqui vamos nós. Há ser multiplicado por um Ok, então este é seis menos um, que é cinco zero mais dois quatro mais zero zero mais zero mais zero. OK, observe que um Times B não é o mesmo que B vezes A Lá. Temos dois resultados diferentes se nos multiplicarmos na ordem inversa. Ok, então note que um B não é igual a ser um e isso é verdade em geral. Em geral, multiplicação de matrizes não é comunidade 13. Comutação, associação e a distribuição: nesta seção, vamos olhar para as propriedades de adição de matriz e scaler. Multiplicação. As primeiras 2 propriedades que vamos olhar para o nosso ITI comunicativo e adição de matriz de idade associativa são comunicativas e associativas para a propriedade comunitária. Escrevemos assim. A mais B é igual a dois B mais A. Então a propriedade de competitividade para adição apenas diz que a ordem não importa. Você pode simplesmente adicioná-lo em qualquer ordem. associativa é assim. A mais B mais C é o mesmo, é adicionar e ser primeiro e depois adicionar C, vamos fazer alguns exemplos. Digamos que a era essa matriz e B é essa matriz e C é dada por isso. Ok, um, vamos fazer um plus B. Ok, então vamos adicionar isso a você. Ok, então vamos em frente e adicionar cada entrada correspondente. Tudo bem, isso é um mais B. Vamos adicioná-los na ordem inversa, então B mais a Ok, vamos em frente e adicionar as entradas correspondentes, e nós percebemos que é o mesmo que um plus B. Ok, então, um, adição para matrizes é comunidade. Vamos fazer um exemplo de associação. Vamos fazer um mais B mais c. Lembre-se o que ser visto foram Ok, vamos reescrever um e adicionar o material dentro dos parênteses. Então temos um aqui. Oito. Então essa é a nossa nova matriz aqui. Agora vamos em frente e simplesmente adicionar. Ok, então é isso que temos para isso. Agora vamos fazer um B mais primeiro e depois adicionar, Veja, vamos ver se conseguimos a mesma coisa. Ok, então um mais B mais C. Ok, então vamos adicionar essas duas matrizes dentro dos parênteses. Agora adicione as duas matrizes que chegamos aqui e perceba. É o mesmo que temos mais cedo para um mais B mais C. Ok, então a adição também é associativa para maitresse. Facilidade. Vejamos outra propriedade. Vamos escalar C e D B. Então temos esta propriedade CD vezes A é o mesmo que C vezes de vezes a, por exemplo, um CB dois e D B menos um. Deixe um ser esta matriz. Então C D é negativo dois e C D A. torna-se menos duas vezes a e nós temos isso. É o que temos aqui no lado esquerdo. Vamos verificar o lado direito. Então veja D a que é muito menos uma vez um Ok, então isso é duas vezes essa matriz. Multiplique-o pelos dois, e recebemos este aviso. É o mesmo que tínhamos aqui antes. Então você pode, hum, há multiplicar a matriz A por C D ou você pode primeiro fazer D e depois ver, isso é o que esta propriedade diz. Em seguida, temos as propriedades distributivas distribuídas. Vitti Agora uma propriedade é assim. Ver vezes um mais B é o mesmo SC vezes um mais c vezes ser outra propriedade distributiva ity diz-lhe que c mais d vezes a é C a mais de a Vamos fazer um exemplo. Então, para o primeiro 1 lembrar que ela era também e hey, era isso e B era isso. Ok, então veja, o tempo é um mais B que é duas vezes esta matriz. Além disso, e isso é igual a duas vezes essa matriz e nós obtemos isso. Vamos fazer ver um óleo de motor C B mais com os dois e adicionar Então nós temos a mesma resposta que temos mais cedo 14. Identidades , infos, associados multiplicativos e distribuição: Há uma identidade aditiva para matrizes, e a identidade aditiva é a Matrix com zeros em todos os lugares. Então, parece com isso para uma matriz de dois por dois. Se adicionarmos a matriz zero como é fria a uma matriz, digamos que esta era a Matrix. Depois voltamos a mesma matriz. Ok, então é como adicionar zero ao, ah, ah, aditivo numérico. O inverso existe para matrizes e o aditivo inverso em verso de a é negativo. A. Então, digamos que um era isso. Se adicionarmos o negativo disso, então obtemos isso. E se você adicionar todas as entradas correspondentes, obtemos zeros em todos os lugares. Certo, então temos o aditivo inverso de uma matriz. A é apenas negativo A Nós vamos obter a matriz zero. Temos mais algumas propriedades. Associação e distribuição para multiplicação de matrizes. Certo, então a propriedade associativa é assim oito vezes BC é a mesma que uma vez B. Consulte idade distributiva. Nós temos um vezes B mais c. Bem, a ajuda distribui, então nós temos um B mais um c. Nós também temos distribuição à direita. Então vamos dizer que tivemos um tempo mais B ver do que este See distribui para cada termo dentro dos parênteses, então vamos obter um C mais B C. Nós também temos esta propriedade onde se tivermos um scaler, veja, em seguida, veja vezes um B é o mesmo que Ver um a vezes B, e isso é o mesmo que um vezes C B. Ok, então isso significa que podemos puxar esse ver na frente aqui e isso aqui será o mesmo que este. É um ziff que estamos puxando para ver fora. Vamos fazer alguns exemplos. Aqui está um exemplo de idade associativa, então vamos fazer um B vezes c. Ok, vamos multiplicar as duas matrizes dentro dos parênteses. Ok, então isso é dois um. Agora multiplique este l e você deve receber isso. Agora vamos fazer um B C vezes e ver se conseguimos o mesmo resultado. Multiplique estas duas matrizes dentro dos parênteses. Você deve obter isso e agora multiplicar essas duas matrizes e você obtém o mesmo resultado. Então isso demonstra a propriedade associativa. - Ok , vamos tentar isso. Vamos ver vezes um B. Então isso é três vezes um B. Multiplique que três para cada termo. Vamos ver o que C A vezes B é Ok, isso é três vezes por vezes B. Ok, então é isso. Algumas vezes B. OK, observe que isso aqui é o mesmo que este resultado. Então veja, um vezes B é o mesmo A c vezes a b e vamos verificar um tempo CB Vamos multiplicar isso e obtemos o mesmo resultado. Temos também uma multiplicação de elemento de identidade para matrizes e chamamos de I Tem uns ao longo da diagonal e zeros em todos os outros lugares. Então este será o elemento de identidade para dois por dois matriz. Ele é se você se multiplicar, eu compro qualquer matriz A, então ele apenas devolve a mesma matriz. Vamos tentar isso para um “Ok”. Agora multiplique estes dois para fora e obtemos um zero zero menos um. OK, observe que isso é o mesmo que a. Da mesma forma, se você multiplicar por, I do lado direito, você só vai voltar um novamente. Ok? Então multiplique isso e você apenas recebe de volta um Ok, então eu esta matriz, eu é como um. Quando você multiplica qualquer coisa por um, você apenas recebe de volta o que quer que seja essa coisa. 15. Transpose de uma matriz: nesta palestra, vamos aprender sobre a transposição da Matrix. A transposição da Matrix é a matriz que você obtém quando você trocou as colunas e linhas da Matriz. Então, por exemplo, digamos que a era essa matriz. Em seguida, a transposição escrita como esta com um T. Essa é a matriz que você começa tomando a primeira linha, que é 10 fazendo que a primeira coluna e tomando a segunda linha e fazendo que a segunda coluna. Ok, então você está apenas trocando as linhas e colunas. Essa é a transposição da Matrix. A. Vamos fazer outro exemplo. Digamos que B é nossa matriz aqui do que a transposição de B. Vai ser isso. Tomamos a primeira linha de B. Faça que duas colunas olhar para a segunda linha, fazer que a segunda coluna e, finalmente, olhar 1/3 linha. Faça disso a coluna de sujeira. Agora o transposto satisfaz um monte de propriedades, - então o 1º 1 é assim. A transposição da transposição apenas retorna a matriz original. Se você pegar a soma de duas matrizes e pegar a transposição, é como adicionar as transposições de cada uma. Se você pegar um scaler. Veja e multiplique por um e você toma a transposição. É como, veja, veja, tempo é uma transposição e se multiplicarmos a e a B, então, pegamos a transposição transpomos uma transposição. Ok, então ele inverte a ordem, mas coloca um t acima de cada matriz. Vamos ver um exemplo. Deixe um ser isso e deixe BB esta matriz multiplicar e ser e você deve obter isso. Vamos fazer a transposição de um B. Bem, já temos um “estar” aqui. Vamos trocar as linhas e colunas. Vamos ver se conseguimos a mesma coisa com ser transpor uma transposição. Certo, seja transposto. É, um, vamos ver. Esta é uma transposição é esta. Multiplique isso. Certo, e isso é o que você deveria receber. É o mesmo que temos aqui. 16. Matriz inverse: nesta seção, vamos olhar para o inverso de uma matriz que exploramos. Adição, escalador, multiplicação, subtração e multiplicação de matriz para matrizes. Vimos que A Matrix sempre tem um aditivo. Inverso. Podemos nos perguntar se a Matrix tem uma multiplicidade de inverso o inverso de uma matriz. R. é qualquer matriz B tal que quando você multiplica um à esquerda e à direita pela matriz B , você obtém a matriz de identidade para que se pareça com isso. Ok, então se é dado e nós queremos saber se A tem um inverso, digamos que há outra Matriz B tal que quando você se multiplica à esquerda e à direita assim , você obtém a identidade e o inverso de um O inverso é denotado assim, um pequeno sinal de menos aqui na álgebra Matrix. Não há divisão, mas o análogo da divisão é a matriz inversa. Vamos fazer um exemplo. Então, digamos que um é dado como esta matriz. Então podemos encontrar o inverso de um Na verdade, há uma fórmula para isso para duas matrizes. Então, digamos que a era assim, então o inverso é dado por esta Fórmula 1 sobre um D menos B c vezes a matriz que você obtém aqui. Se você trocou o Andy e, em seguida, anexar um sinal de menos para ser N c. Ok, então esta é a fórmula para o inverso de um Isso só se aplica para duas matrizes. Oh, ok, vamos aplicar isso aqui a esta matriz. Então pegue 1/80 menos b C vezes a matriz que você obtém trocando os dois e quatro e anexando um sinal de menos aqui e aqui. Ok, então vamos simplificar essa distribuição que ganhou mais de oito. Então, conseguimos isto. Ok, então este é o inverso de um Vamos ver se isso realmente dá a você a matriz de identidade quando você se multiplica com um Ok, então oito vezes um inverso vai ser isso e multiplicar isso. Você tem um, tem zero aqui. Negativo 1/4 mais de quarto, que é zero e um. Ok, então nós temos a matriz de identidade do lado direito aqui. Vamos multiplicar a pelo inverso à esquerda, e também devemos obter a matriz de identidade. Ok, então isso é 10 1/2 menos metade, que é zero e um ano 17. Eliminação de Gauss: para encontrar o inverso de uma matriz. Podemos usar um processo chamado “Garotas Eliminatórias da KAOS Jordan “, Eliminação da Jorden para fazer as garotas “Eliminação de Jorden”. Tomamos a Matrix um e um juntar a matriz de identidade. Certo, então e junte-se à matriz de identidade. Ok, então essa é a primeira coisa. Em seguida, executar operações de linha na matriz resultante até transformar um em I a matriz de identidade. Certo, então execute operações de linha até transformarmos um em I. Vamos dar um exemplo. Então, digamos que um foi dado como este. Tomamos um e um juntar a matriz identitária assim. Então começamos a executar operações de linha nesta matriz até que este lado esquerdo se pareça com o lado direito. Certo, então vamos pegar 14 vezes a primeira fila. Bem, veja isso. Agora, vamos pegar a linha um adicionado a escrito para. Certo, então pegamos zero a 1/4 e um. Agora, temos um dois aqui em baixo. Vamos fazer disso um. Sue, pegue metade da estrada para Ok, então isso vai nos dar 1/8 e um, hein? Ok, agora, a matriz resultante à direita aqui é inversa. Então o inverso é isso. Vamos fazer outro exemplo. Digamos que a é igual a isso. Certo, formamos a Matrix com uma à esquerda e a matriz de identidade à direita. Certo, assim. E começar a executar operações de fileira no lado esquerdo aqui, ou melhor, na verdade, em toda a coisa. Mas queremos que o lado esquerdo pareça com a identidade. Vamos fazer negativo para rolar um mais caminho para chegar a nossa nova estrada para Ok, então isso vai ter um zero mais dois. Isto será dois mais um é três menos dois mais zero zero mais um e zero. Agora, vamos ver. Vamos fazer deste três aqui um 1. Então vamos fazer 1/3 Fila três. Faça com que seja a nova Regra 3. Ok? - E isso é o que temos. A mesma coisa com a estrada para “Vamos fazê-lo”. Vamos fazer este aqui. Então pegue 1/2 da estrada para fazer que a nova estrada, e isso é o que temos aqui. Agora vamos tentar fazer deste 3/2 um zero. Vamos fazer menos 3/2 fila três para a estrada para nos dar a nossa nova estrada para Ok, Sue, isso vai nos dar isso. Está bem. Então menos 1/2 aqui. Tudo bem. Olha para isto. Isso está começando a se parecer com a matriz de identidade. Certo, só precisamos que esta última parte seja zero. Este negativo aqui. Certo, vamos fazer a fileira um, mais a linha três. Faça com que seja a nova fila. Ok, então apenas adicione a primeira e a terceira Rose, garoto. Zero aqui. 10 1/3. E isso é o que temos. Já que temos a matriz de identidade aqui à esquerda, o que nos resta no lado direito é o inverso. Já que temos a matriz de identidade aqui à esquerda, Assim, o inverso de a é dado por essa matriz à direita. 18. Exemplo adicional de eliminação de de Jordao: se não conseguirmos transformar a Matrix à esquerda na matriz identitária do que a não está na vertebral. Vamos ver um exemplo disso. Digamos que um foi dado por esta matriz. Vamos formar a matriz aumentada com um à esquerda e a matriz de identidade à direita. Está bem. E vamos começar a fazer operações de fileira. Vamos fazer duas vezes escreveu dois mais linha um. Ok, também. Fila dois, mais fila um. Ok, Sue, isso vai dar um zero aqui. Dois mais um. Isso é três dois mais 46 12 zero. Vamos ver isso também, também, aqui na primeira fila. Vamos fazer de dados um. Então 1/2 fila um. - Ok , vamos dar uma olhada neste três. Aqui, faça isso um. Em breve. Pegue 1/3 estrada para olhar para este quatro aqui na terceira fila. Vamos dividir por quatro. Certo, Grupos. Tudo bem. Vamos pegar a estrada para subtrair Rhodri. - Temos um monte de zeros aqui, ok? E isto é o que temos à direita. Tudo bem? Já que temos uma fileira de zeros aqui, , não podemos transformar o lado esquerdo para a matriz de identidade. Ok? Então não podemos transformar um em I Ok, então não é em vertebral. Em outras palavras, A não tem um inverso 19. Determinante de um de 2 por 2 Matrix: nesta seção, vamos olhar para os determinantes. Digamos que tivemos uma matriz A. de dois por dois que se parece com isso. O determinante de a é definido como um D menos b c. Ok, então é oito vezes D menos B. C. E o determinante é denotado assim. E também é às vezes estavam em como este dentro de um fim para barras verticais. Vamos fazer alguns exemplos. Suponha que a é esta matriz. Então vamos encontrar o determinante de a Então isso é um vezes D menos b vezes C. Então isso é oito mais três, e isso é 11. Vamos fazer outro exemplo. Sebi é essa matriz. Em seguida, o determinante de B é oito vezes D menos tempo B. Vês? Então isso é dois menos seis, que é menos para 20. Expansão de cofatores: para encontrar o determinante de uma matriz de três por três ou de uma matriz maior, temos que usar o que é chamado de expansão de cofator. Vamos dar uma olhada em um exemplo. Então, digamos que um foi dado por esta matriz, em seguida, Primeiro, devemos atribuir sinais de mais e menos para cada posição na Matrix. Então, começando com a primeira posição, torná-lo um plus e, em seguida, começar a alternar mais menos mais Indo para baixo. Além disso, você quer alternar, então isso será mais menos mais atravessando. Queremos alternativa. Então vai menos, mais menos mais menos mais. Certo, então temos esses sinais de mais e menos para cada posição na Matrix. Queremos expandir ao longo da primeira coluna, e o que fazemos é pegar aquela primeira entrada. Mas aqui temos um sinal de mais, então deixamos como um. Multiplique isso pelo determinante da matriz que você obtém quando você exclui a primeira coluna e a primeira linha. Ok, então imagine que a primeira linha e a primeira coluna são excluídas. Então o que você acaba com é apenas esta matriz aqui. 1304 Ok, então vamos direito que aqui 1304 Ok. E agora passamos para o segundo elemento zero. Então adicionamos a isso zero vezes. Agora, o sinal para essa posição é negativo. Então nós multiplicamos pelo negativo uma vez o determinante da matriz que você obtém quando você exclui a primeira linha e a segunda coluna. Então isso daria a vocês 23 menos 14 23 menos 14 14 Ok, passamos para o último termo nesta linha, que é negativo. Temos um sinal de mais nessa posição. Então nós apenas deixá-lo como não e multiplicar pelo determinante da matriz que você obtém quando você exclui essa primeira linha e última coluna. Então você chega a um menos 10 21 menos um zero. Não, este determinante aqui. Isso é rotulado e 11 Este determinante aqui é rotulado m 12 e este determinante é rotulado m 13 e esses determinantes seu frio menor. Então sou eu J. Esse é o menor de um I j a I j oitava entrada. Ok, e agora se você levar um negativo para o poder I mais j Ok, esta parte aqui. São os de sinais demais e menos que vimos antes. Se você multiplicar o menor por esse sinal de mais ou menos. Ok, isso é chamado de aviso de co-fator aqui. Pegamos os fatores co e multiplicamos cada fator co pela entrada A i J. Ok, então é por isso que tivemos um aqui multiplicado por m 11 mais zero vezes o fator co aqui. Negativo um vezes, M 12 e negativo um vezes, M 13 Ok, Então o determinante de a é apenas alguns dos fatores co, hum, multiplicado pelas entradas A i J também. Expanda ao longo da primeira sala. Você pode expandir ao longo de qualquer linha, e o resultado é o mesmo. Ok, vamos simplificar o que temos aparecido uma vez o determinante deste dois por dois, que é para mais zero vezes. Qualquer coisa é zero menos o determinante desta matriz dois por dois, que é zero menos um, que é um. Então temos quatro menos um, que é três. Ok, então o determinante de A é três 21. Exemplos de expansão de cofator: Vamos expandir ao longo da segunda linha e ver se temos a mesma resposta para o determinante de um Ok, então lembre-se dos sinais. Mais menos mais menos. Além disso. Certo, então vamos ver isso. Segunda fileira aqui. Tome duas vezes. Negativo, porque o sinal ali é negativo. Ok, pegue o determinante da matriz que você obtém quando você exclui a primeira coluna e a segunda linha. Ok, vamos passar para o próximo semestre, que é um. O sinal lá é mais, então não temos que multiplicar nenhum por nada lá. Exclua essa segunda coluna e segunda linha, obtemos um menos um menos 14 Passa para o próximo termo. Três. Temos que multiplicar por negativo e, em seguida, excluir essa terceira coluna e segunda linha. Então nós temos 10 menos 10 Agora, vamos simplificar o determinante desta matriz zero quatro menos um, que é três e isso é zero. Ok, então nós temos zero mais três mais zero. Qual história? Esse é o mesmo resultado que tivemos antes quando encontramos o determinante para um Também podemos expandir ao longo de qualquer coluna e o resultado é o mesmo. Então vamos expandir ao longo da terceira coluna. Esta era a nossa matriz A. Ok, vamos expandir ao longo da terceira coluna. Então vamos começar a descer por aqui. Ok, então menos um. Mas lembre-se dos sinais. Então mais menos, mais menos, mais menos, mais menos, mais menos. Além disso. Ok, agora, o suspiro para essa posição é mais, então não temos que fazer nada. Pegue a primeira linha e a terceira coluna. Apague-os, e devemos obter esta matriz. Ok, movendo-se para baixo. Temos três vezes negativo. Uma vez que o determinante da matriz foi quando Ah, você exclui a segunda linha. coluna deles. Está bem. E finalmente, o quatro vezes mais um, não faz nada. E apague isso. coluna deles e a última fila. Então, temos 10 a 10 a 1. Está bem. Agora, vamos simplificar isso. Negativo um vezes zero menos um, que é mais um. Ok, então nós temos menos um mais quatro, que é aviso de história. Obtemos o mesmo resultado que as expansões de co-fator anteriores. 22. Determinante de um produto de matrizes e de um múltiplo de uma matriz: Vejamos as propriedades dos determinantes. A primeira propriedade é assim. Se um NB são e por n matrizes, então o determinado de um vezes B é o mesmo que o determinante de um vezes o determinante de B. Por exemplo, digamos que a foi dada por este dois por dois matriz e B é dado por este. Então determinante de um Isso é muito menos zero determinante de B é seis menos 20 que é menos 14. E se tomarmos o determinante do produto de um vezes determinante de B, obtemos duas vezes menos 14 o que é negativo. 28. Vamos pegar o produto a B e então vamos encontrar o determinante dele e ver se conseguimos o mesmo resultado. Ok, vamos multiplicar a e B então menos três mais 10 sete e menos quatro mais 40 Ok, tomar o determinante disso. Temos zero menos 28. Tudo bem, então é a mesma coisa. A segunda propriedade que queremos olhar para ele é assim. IFC é um scaler e a é uma matriz n por n. Então o determinante de C vezes A é C para os tempos finais de potência determinante de um Vamos fazer um exemplo. Digamos que a CIA tem oito anos e a é esta matriz. Veja, o tempo vai ser assim. Ok, então determinante de C vezes A bem, isso é oito vezes menos 32 mais 24 vezes a. e isso acaba por ser menos 2 56 mais 92 que é menos 64. E ele vai para dois. Desde que estamos falando de uma matriz de dois por dois Então si para a extremidade de potência vai ser oito ao quadrado, que é 64 determinante de um Lembre-se o que um era um se parece com este. Então o determinante é menos para mais três, que é menos um. Ei, então veja o determinante final de A é menos 64. Certo, esse é o mesmo resultado que conseguimos mais cedo. Vamos fazer outro exemplo. Vamos ver. Nosso escalador é três e a matriz A é uma matriz de três por três. Ok, vamos encontrar See, Time é um Ok, bem, bem, isso é apenas um com três distribuídos em todos os lugares e o determinante de C A. Ok, vamos olhar para fora este ano. Agora olhe para esta segunda coluna aqui. É um monte de zeros aqui. Portanto, faz sentido expandir ao longo desta segunda coluna. Lembre-se, cofactor de expansão. Se expandirmos ao longo desta coluna , os 2 primeiros termos serão zero. OK, então isso será zero vezes negativo uma vez o determinante desta matriz mais zero vezes o determinante disso mais 12 vezes negativo uma vez o determinante disso. OK, repare. Os 2 primeiros termos são zero. Então nós só obtemos menos 12 vezes 27 mais 18 menos 12 vezes 45 e isso é negativo. 5 40 Ok, agora deixe-me reescrever um aqui. Então, o determinante de um Se expandirmos ao longo deste segundo, ligue para ele, temos quatro vezes menos uma vez. Ah, o determinante disso. Então isso é menos para três mais dois. Então menos 20 si para a extremidade de energia é três para a potência três, que é 27 caso. Então C para a potência final vezes determinante de um Isso é 27 vezes negativo 20 que é menos 5 40 Ok, esse é o mesmo resultado que temos mais cedo 23. Determinantes e inde e invernos: nesta palestra. Quero falar sobre determinantes e capacidade invertida. Existe uma boa conexão entre determinantes e convertibilidade. , Matriz A, que está na coluna vertebral, tem um determinante diferente de zero. Além disso, se uma matriz tem um determinante não zero do que o seu na vertebral Ok, então deixe-me escrever que aqui a está em vertebral. Em outras palavras, ele tem um se inverso e somente se o determinante de a é diferente de zero. Certo, vamos dar um exemplo. Determine se a matriz está na coluna vertebral. Digamos que um é dado como este. Ok, então vamos encontrar o determinado de um vamos expandir ao longo da primeira linha tão menos duas vezes o determinante desta matriz mais três vezes negativo um vezes o determinante desta matriz mais um vezes o determinante desta matriz mais um vezes o determinante disto. Ok, então determinante disto aqui é quatro menos cinco determinante deste é oito menos dois determinantes deste é 20 menos quatro. Então simplificando eu entendo isso que é zero. E uma vez que o determinante de um zero, sabemos que a não está na vertical. Certo, vamos fazer outro exemplo. Digamos que a é esta matriz. Muito bem, vamos encontrar o determinante para eles. Ok, vamos olhar para a nossa matriz. Um aqui. Há um zero aqui. Então vamos expandir ao longo da primeira coluna, certo, uma vez o determinante desta matriz mais zero vezes o que for. Não nos importamos com isso. Então passamos para a terceira entrada aqui, mais uma vez o determinante desta matriz. Ok, então isso é, hum, quatro menos seis, o que é negativo. Dois mais menos dois menos 18. Então isso é menos 20. Então eu recebo menos 22 e isso não é zero. Então, a está na vertebral. Agora, se tivermos uma matriz vertebral A. confinamos o determinante do inverso usando a seguinte fórmula. O determinante do inverso de a é um sobre o determinante de um Ok, vamos fazer um exemplo. Digamos que uma matriz czar dada como esta. Tudo bem. Vimos que o determinante é negativo. 22. Então o determinante do inverso de um que é um sobre negativo 22 24. Determinantes e transpos e de transpos: O determinante do transposto da matriz é o mesmo que o determinante da matriz. Ok, então o determinante da transposição de a é o mesmo que o determinante de A Por exemplo, digamos que a é essa matriz, então uma transposição é isso. Nós apenas trocamos as linhas e colunas o determinante da transposição. Vamos tentar encontrar esse olhar para isto. Segunda coluna. Vamos expandir isso. Então chegamos aos tempos. Bem, aqui temos mais menos mais. Então lembre-se dos sinais. É assim. Mais menos, mais menos, mais menos, mais menos, mais menos. Além disso. Então, o primeiro termo, nós apenas ignoramos isso porque é zero nós passamos para dois. Mas tem um sinal de mais, então não importa. Só temos de o fazer. E então nós riscamos essa coluna na segunda fila, então pegue 1192 Ok, Agora olhe para isso aqui embaixo. Adicionamos duas vezes um negativo por causa do sinal multiplicado pelo determinante. Ok de 11 menos 13 Então isso é duas vezes dois menos nove, o que é negativo. Sete menos dois vezes três mais um é quatro menos 14 menos oito. Então, isso é negativo. 22. Lembre-se de uma leitura anterior recordar que o determinante de um foi negativo 22. Ok, então fazer para transpor isso não faz diferença para o determinado. 25. Definição de espaço em vetores: nesta seção, vamos olhar para espaços vetoriais. Um espaço vetorial é um conjunto v juntamente com adição e multiplicação scaler tal que as seguintes 10 propriedades mantêm. Ok, vamos v e W Lyon V e vamos ver Andy ser números reais, então a primeira propriedade é que quando você leva você e sendo você, Adam, Adam, você recebe um elemento que ainda está em V. Isso é chamado de fechamento sob Adição. Ok, a segunda propriedade é que quando você adiciona inveja, é o mesmo que adicionar V mais você e isso é chamado de comunicação. Comunicação, além disso. Ok, a terceira propriedade diz que você mais V mais W é o mesmo que U mais V mais W Isso é idade associativa, associação além disso. OK, a quarta propriedade é que há um vetor zero. Há um vetor zero. Denote isso assim, tal forma que quando você adiciona, você apenas volta. Você está bem? Então, se você adicionar zero a qualquer vetor, você apenas volta. Você está bem? Então, o vetor zero que é chamado de identidade aditiva aditiva identidade. A quinta propriedade diz que para cada elemento você inveja, então cada vetor U e V. Há um aditivo Inverso. Você notou menos você tal que você mais menos você lhe dá zero. Certo, menos você é chamado de aditivo Inverso. A atitude em verso Que a sexta propriedade diz que c vezes você mente inveja. Isso é chamado de fechamento sob scaler multiplicação scaler. Multiplicação. Uh, eu vou colocar um você, um, eu sinto muito. Às vezes vou colocar um bar para você. Você sabe que você é um vetor? Ok, agora, a sétima propriedade diz que se você tomar C e multiplicar com U mais V, o mar distribui. Vejo-te mais C V. Isto é, um distributivo. Distribuição. A oitava propriedade diz que quando você toma c mais d multiplicar pelo vetor você também obtém idade distributiva. Sue. Te vejo mais, não é? Vamos chamar isso de distribuição de novo, certo? A nona propriedade diz que o tempo é o mesmo C vezes que se chama associativa. E finalmente, a 10ª propriedade. Se você pegar o scaler um e multiplicar pelo vetor, você apenas recebe de volta Você que é chamado de identidade Scaler. Certo, então aí está. Você tem todas essas propriedades de 10 propriedades de um espaço vetorial, se qualquer conjunto V satisfaz essas 10 propriedades do que é um espaço vetorial. 26. Exemplo de espaço em vetores: nesta palestra. Vamos olhar para um exemplo de um vetor. Espaço são dois é um espaço vetorial são para Ok, vamos tentar provar que são, também é um espaço vetorial. O que você quer que você e V b V um V dois e w B W um W dois. Ei, que estes sejam vetores em ou dois agora Nota. U um u dois v um, V dois e w um w dois Estes todos mentindo são todos números reais. Ok, então vamos tentar provar cada uma das propriedades do espaço vetorial. O 1º 1 é o encerramento. Então vamos tomar U+ V. Então é isso. Mais V um venceu você. Certo, vamos adicionar esses dois juntos. Então o primeiro componente torna-se você um mais V um. O segundo componente são vocês dois mais V dois. Ok, agora a questão é, isso está dentro ou dois? Bem, você um e V um. Ambos são números reais. Então, quando adicionamos números reais, obtemos outro número real. Então você um mais V um está no nosso e o mesmo com vocês dois mais V dois. Certo, isso é pelo fechamento dos números reais. Certo, já que cada componente aqui é um número real, essa coisa toda está em ou dois. Certo, vamos tentar provar a segunda propriedade. U Plus V. Está bem. Deixa direito você invejar em suas formas componentes. Ok, agora olha para isto aqui. Podemos entrar em conflito com estes. Então isso se torna V um. Além disso, você ganhou isso. Além disso, podemos virar. E isso é porque temos comunidade Vitti comunicativa sob adição dos números reais. Ok, você ganhou. Mais V um. Isso é V um. Além disso, você ganhou. Vocês dois mais V dois é o mesmo que V dois. Além de você também. Certo, isso é porque os números reais são a comunidade de subadição. E foi assim que conseguimos este passo aqui. Agora, isso pode ser reescrito V um v dois mais você quer que você, mas isso é apenas ser e isso é apenas você. Ok, então você mais V é V mais você e nós temos competitividade agora para a terceira propriedade associativa. Isso é reescrever o lado esquerdo. Ok, não, vamos adicionar os dois termos dentro dos parênteses. Não, vamos e esses dois vetores. Então isso é o que nós temos grupos vocês dois mais V dois mais W dois. Ok, agora aqui podemos mudar isso como você um mais V um mais W um. O mesmo com o segundo componente. E isso é por associação dos números reais Associative ity em adição. Ok, não, vamos reescrever isso como você um mais V um. Vocês dois mais V dois mais w um w dois e isso é igual a isso. Ok, mas isso é só você e aquele é V. E isso é apenas W Ok, então nós mostramos idade associativa. Ok. Para a propriedade quatro 00 é a identidade atitude. Obrigado. U mais zero é igual a você. Quero que você mais 00 que é você um mais zero u dois mais zero. E isso é só você no YouTube porque zero é a identidade aditiva em nosso ok, então você quer é um número real, e se nós adicionarmos zero, nós apenas voltamos. Você um. A mesma coisa para você. Ok, agora, isso é só você. Então nós temos u mais zero é você e sabemos que o vetor zero é 00 Não, para a quinta propriedade, menos você é o aditivo em verso de você. Ok, você mais menos você. Isso vai ser U um u dois mais negativo. Você quer negativo? Você também. Ok. Menos uso. Apenas definido para ser isto. Ok, onde? Cada componente tem um sinal negativo. Agora nós adicionamos, mas você quer menos você 10 e você dois menos você 20 Isso é porque negativo você um é o inverso aditivo de você um. Este é o nosso semelhante para você também Similarmente negativo. Você também é o aditivo em verso de você também. No nosso “ok”. E isso, é claro, esse é o vetor zero. 27. Exemplo de espaço em vetores: Ok, vamos ver a propriedade seis vezes que você multiplica a visão através, então vamos ver você um. E queremos saber se isso está nos nossos grupos. Está bem? Não te vejo e te vejo também. Ambos Lyon são porque temos fechamento sob multiplicação em nosso ok desde C é um número real e você um é um número real. Quando multiplicamos, então temos Ver você um que também é realmente número por encerramento. Em nossos tempos semelhantes ver, você é um número real por fechamento de multiplicação em nosso ok, vamos olhar para Propriedade sete. Veja U do tempo mais V. Ele vai vê-lo mais C v começando com o lado esquerdo. Vamos reescrever você em forma de componente e mesmo com o Agora adicione os dois O mar se multiplica através de agora o mar aqui distribui para cada termo dentro dos parênteses. Então nós temos Ver você um mais c v um dizendo com isso nós temos Ver vocês dois mais C V dois. Certo, isso é por causa da distribuição. Ok, desde C e U um v um você para invejar eles são todos números reais. Temos a distribuição em números reais. E isso é o que aplicamos aqui. Ok, então podemos reescrever isto aqui como te ver uma vírgula. Vejo você também. Mais C V um cv para Ok, agora, olhando para esta parte aqui. Puxe o C para fora. Também aqui. Puxe o C para fora. Isto é só você. E isso é apenas ficar bem. Então nós temos Ver você mais C v propriedade oito c mais d vezes que você Queremos verificar isso. Este é o mesmo a c u mais d você Ei, vamos começar com o lado esquerdo. Reescrever você em forma de componente. Distribua esse scaler C mais d Agora distribua. Isto é por distribuição na nossa, uma vez que estes são todos números reais aqui. Você queria que você enfraquecesse? Distribuir. Certo, reescreva assim. Puxe o C e fechou o negócio. Isto é só você e este é você. Certo, então vamos ver você, mais você. Provou a propriedade nove. Vês, o tempo é igual a dois c d vezes. Você está bem? Vamos começar com o lado esquerdo. Reescrever você na forma de componente, distribua esse d nesse vetor. Agora distribua o mar por dentro. Certo, olhe aqui dentro. Podemos mover os parênteses daqui para ver d assim. Certo, isso é por associação. Isto é por iti associativo e em nosso aviso ok. Temos um CD aqui em um CD aqui. Puxe isso para fora. Mas isso aqui você quer que você faça. Isso é só você. Ok, então temos tempos de CD. Você finalmente a 10ª propriedade, tomar uma vez você. Isso é uma vez esse vetor. Multiplicar o um através, mas uma vez que você quer é apenas você um e uma vez que você é YouTube. Isso ocorre porque um é a identidade de multiplicação nos números reais. Vamos reescrever isso como você. Está bem? Então, uma vez você é você. Agora, uma vez que nossos dois satisfazem todas essas 10 propriedades de um espaço vetorial são duas é um espaço vetorial . Ok, então nós acabamos de mostrar que são também é um espaço vetorial. Também é verdade que, mas estão dentro é um espaço vetorial para qualquer extremidade maior do que dois. Então são três ou quatro ou cinco e assim por diante. E assim por diante. Delta, esses são todos espaços vetoriais 28. Exemplo adicional de: o exemplo do nosso N não é o único exemplo de espaços vetoriais. Espaços vetoriais podem ser muito diferentes em ... você se parece? Assim, por exemplo, este conjunto m disse M n, que é o conjunto de todos, e por n matrizes com adição de matriz e multiplicação scaler que forma um espaço vetorial Ok, . então os vetores nesse caso, são matrizes, que é um pouco estranho, mas tudo bem se satisfaz as propriedades do espaço vetorial. É um espaço vetorial. Ok. Outro exemplo é o conjunto de todas as refeições Paulino de grau, menor ou igual a fim que também forma um espaço vetorial. Ok, então os vetores neste caso são refeições Paulino. Vamos fazer um exemplo. Vejamos o P dois. Esse é o conjunto de todas as refeições Paulino de grau, menor ou igual a duas. Certo, isso é um espaço vetorial. Queremos tentar provar isso, então teríamos que mostrar todas as 10 propriedades do espaço vetorial. Ok, vamos tentar provar as primeiras propriedades. Deixe f g e H mentir em p dois e deixe CND b escala er f de X bem parecido com isso É um polinômio de segundo grau onde os coeficientes são um zero um um um dois. São apenas constantes. Esses números aéreos G também se parecerão com isso. Vamos apenas dizer que é muito X ao quadrado mais B um X Plus B zero, onde as abelhas são números reais e h vai ser um polinômio de segundo grau semelhante. Vamos apenas dizer isso. Ver T X ao quadrado mais C um x mais C zero e o coeficiente C zero c um C dois esses ar. Apenas números reais. Ok, a primeira propriedade que queremos mostrar é o encerramento sob adição. Então vamos pegar isso mais G de X. Bem, por definição, isso é f de X mais G de X. Ok, vamos direito, uh, em termos do que é como um polinômio. Ei, isso mesmo, G como o que é como um polinômio. Agora, a maneira de adicionar essas duas refeições Paulino é adicionar os coeficientes. Então, são oito. Para bater um dois mais B dois X ao quadrado, mais um um mais B um x mais um zero mais B zero. Ok, agora os coeficientes aqui, um dois mais B dois. Isso é um número de linha A um mais B um é um número real, e um zero mais B zero é um número real. Ok, então todos os coeficientes são reais e ah, grau aqui é para o grau deste polinômio é dois ou menos porque este co pesca aqui pode ser zero. Ok, então isso significa que F mais G está em p dois. Ok, vamos olhar para a segunda propriedade F mais G de X. Isso é f de X mais g de X, por definição. Ok, então isso é um dois x ao quadrado, mais um um X mais um zero. Vamos reescrever gs o polinômio Oops, B dois x ao quadrado, mais ser um x mais B zero. Agora combinamos as duas refeições Paulino adicionando os coeficientes. Agora, já que os termos aqui e ser esses são números reais para que possamos usar a comunicação das regras. O mesmo aqui. Um mais B um que é B um mais um um. Ok. E nós podemos mudar estes aqui para ser zero mais um zero. Agora, vamos acabar com isso. Certo, dividam isso em refeições Paulino. Eu notei que isso aqui é apenas G, e isso é, uh e por definição, que é G mais f de X. Ok, então f mais G f mais g é o mesmo que G mais f. Então nós temos idade comunicativa Aqui. Vejamos a terceira propriedade, que é associativa. Queremos mostrar que isto é igual a mais G mais h. Ok, então vamos tomar esta função. Essa função de X é f de X mais ela mais h de X, é f de X mais G de x mais h de x. Ok, vamos reescrever f assim, e G e H Ok , então temos este Plus Ok, vamos combinar esses coeficientes aqui. Então obtemos B dois mais c dois X ao quadrado mais B um mais C um x mais B zero mais César. Agora adicione os coeficientes. Nós pegamos isso. Agora, notem Neste coeficiente, podemos trocar os parênteses usando a idade associativa para os números reais. A mesma coisa para estes coeficientes. Ok, agora, vamos separar isso, ok? Temos este polinômio mais este polinômio, ok? E podemos dividir esta parte aqui em duas outras refeições Paulino. Ok Ok , mas agora isso aqui, é apenas F de X e este é G de X esta é uma igreja de X. , mas agora isso aqui, é apenas F de X, e este é G de X, esta é uma igreja de X. E isso aqui podemos reescrever como F mais g de X, em seguida, reescrever esta coisa toda como f mais G mais h de X. Ok, então f mais G mais idade. Isso é o mesmo que F mais G mais H. Ok, aqui temos F mais G mais H e maneira. No início, tínhamos F mais G mais h. E mostramos que eles eram a mesma função quando os aplicamos ao X. E então isso é o que temos aqui. Ok? A associativa mantém-se. 29. Exemplo adicional de vetor: Certo, vamos ver a Propriedade 4. Deixe zero ser o polinomial tal que quando você ligar em seguida, você apenas obter zero. Ok, então. Zero mais f Quando aplicamos a X, obtemos zero de X mais f de X, mas zero de x zero e f de X É que a refeição Paulino adicionando zero aqui é adicionada a um zero mas não faz nada. , Então nós apenas devolve um zero e isso é f de x. ok, então zero mais f é f Ok, então nós temos um elemento zero, o polinômio zero agora para a quinta propriedade, o inverso, o aditivo inverso, o aditivo inverso de f é negativo e isso é definido por isso. Se aplicarmos F negativo dois X, obtemos f negativo de x. ok, então F mais f negativo se aplicarmos isso a X, obtemos f de X mais f negativo de X, que é f de X menos ffx. Isso nos dá zero, que é o mesmo que zero de X. Portanto, f mais f negativo é zero. Ok, então há um aditivo inverso disso para cada F em P 2. Muito bem, mostramos as primeiras 5 propriedades de um espaço vetorial aplicado a P 2. Agora eu quero que você tente provar as cinco propriedades restantes de um espaço vetorial para P 2. 30. Exemplos de sets que não são espaços de vetor: nesta palestra, vamos olhar para exemplos de conjuntos que não são espaços vetoriais. Para o primeiro exemplo, considere o conjunto de refeições Paulino que têm grau Exatamente. Dois. Ok, nós queremos mostrar que este dito não é um espaço vetorial. Ok, deixe f de X ser este polinômio e deixe g ser este polinômio. OK? Observe f tem grau para e G tem grau para também não, vamos ver o que acontece quando adicionamos f n g. Ok, então isso é f mais g. Ok, reúna todos os termos de luz que os termos X ao quadrado cancelam e nós obtemos Três X mais sete. Certo, então F mais G tem grau 1. Então f mais G não está no conjunto de refeições Paulino que têm grau de ok, F e G próprios têm grau exatamente dois. Mas quando você adiciona FND, você só obtém um polinômio de um grau. Então o algum F mais e g não está no conjunto original. Ok, então fechamento sob adição não aguenta. Assim, o conjunto de todas as refeições Paulino de grau para não formar um espaço vetorial. Vamos dar uma olhada em outro exemplo. Considere Z a Z dois não é um espaço vetorial. Ok. Z dois é o conjunto de todos os pares mn onde m e N são inteiros tão m unlightened z Ok, deixe você ser 23 e vamos ver Seja o scaler 1/3, em seguida, ver vezes que você é 1/3 vezes 23 que é 2/3 1 E que não está em Z dois desde 2/3 não é um interesse. Seu acordo para quinta-feira não está mentindo Z então este par aqui não está em Z2. Ok, então veja você não linha z dois, que significa que o fechamento sob multiplicação scaler não detém Ok, desde fechar seu sob scaler Multiplicação não segura Z dois não é um espaço vetorial. 31. Definição de Subspace e propriedades do subespaço: nesta seção, vamos olhar para sub-espaços. Um subconjunto w de um espaço vetorial V é um subespaço de e. Se w não estiver vazio e um espaço vetorial propriamente dito com as mesmas operações que V, por exemplo, o conjunto w dado pelo conjunto de todos os pares X zero, onde X Israel é um subespaço de ve Fantasma também. Ok, se olharmos para o plano X Y do que todos os pontos neste plano forma, o espaço vetorial também é. Mas W é o subconjunto de nossos dois consistindo desses pontos ao longo do eixo X. Ok, então x zero, o White Corning em zero. Então ele vai ser apenas todos esses pontos ao longo aqui neste eixo X. Ok, então a afirmação é que essa linha, o eixo X é um subconjunto. Eu sinto muito. Um subespaço do espaço maior também são. Ok, agora, para mostrar que W é um subespaço de nossos dois, temos que mostrar que W tem todas essas 10 propriedades de espaço vetorial. Ok, o que eu quero dizer é que normalmente um teria que mostrar todas as 10 propriedades do espaço vetorial . Felizmente, não temos que mostrar todas essas propriedades. Só temos que mostrar alguns desses. Então temos que mostrar as propriedades de fechamento e temos que mostrar que w não está vazio. E para mostrar que w não está vazio, podemos mostrar que ele contém o vetor zero. Ok, então deixe-me corrigir as propriedades subespaciais. Propriedades do subespaço. Certo, só há três deles. O 1º 1 o vetor zero, encontra-se em W para a soma de dois vetores de W encontra-se em w. ok, isso é chamado de fechamento sob adição. E a terceira propriedade é que C vezes você está em W onde C é um scaler, e u é um vetor de w. Ok, isso é chamado de fechamento sob habilidade de multiplicação scaler. Multiplicação. Certo, vamos dar um exemplo. Digamos que W é o conjunto de todos X zero onde X está em nosso e o grande espaço V é nosso para Ok, olha, XB zero, então x zero é 00 e zero reside em nosso vetor tão zero, que é 00 reside em w. Ok, agora para a segunda propriedade, deixe você ser x zero e deixe V b Y zero onde x e y nosso riel. Ok, eu só escolhi vetores arbitrários que você inveja de W Agora quer adicionar u e V. Ok, então agora eu recebo X mais. Por que zero? E isso está em W desde X mais y está em nosso ok, X mais y está em nosso e assim o primeiro componente é rural e o segundo componente é zero. Mas isso é exatamente o que W. é. São todos esses pares, por exemplo, zero. Onde o primeiro componente Israel. Ok, então isso aqui está no W Now para a terceira propriedade. Vamos ver, ser uma habilidade er e deixá-lo ser algum elemento x zero em w, em seguida, ver vezes que você é igual a c vezes x zero, que é C x c zero, mas ver tempo 00 Ei! E isso faz leão w. porque veja, ex está no nosso “ok”. Desde C e X são ambos números reais, Quando eu multiplicá-los, eu recebo um número real. E assim este primeiro componente Israel, o segundo componente é zero. E então este espectro está em w. Ok, então nós temos fechamento sob multiplicação scaler. Então w é um subespaço de nossos dois 32. Definição de tridimensional e o subespaço não para a triuna: o subconjunto que consiste apenas em zero Vector é um subespaço do Então, o conjunto que consiste apenas no vetor zero. Ok, isso é um subespaço de E. E é chamado de subespaço zero, o subespaço zero, o próprio set V. Isso também é um subespaço desses dois sub-espaços de ar chamado subespaços triviais. Ok, esses subespaços triviais e triviais, um subespaço não-trivial é qualquer subespaço de E que não seja o espaço zero, e não é o próprio V. Ok, lembre-se, W W é um conjunto composto por todos os ovos zero onde X Israel. Ok, nós mostramos que W é um subespaço de nossos dois e W Não é o subespaço zero porque ele contém elementos que são diferentes do vetor zero. Então, por exemplo, ele contém 10 ok, e isso não é zero. Isso não é vetor zero. Então w não é o subespaço zero, ok? E w não é todo o espaço são também, porque ele não vai conter outros elementos em nosso para, por exemplo, 23 Isto está em nosso para o grande espaço, mas ele não está em W porque o segundo componente não é zero. Ok, então w é um subespaço não trivial de nossos dois 33. Exemplo adicional do subespaço: Vejamos outro exemplo de um subespaço. Considere o conjunto w de todas as matrizes da forma um zero bc. Este é um subespaço de M sub 22 m sub Tutu é o conjunto de todos os dois por duas matrizes. Ok, agora nós queremos mostrar essas três propriedades subespaciais para W. Ok, se pudermos fazer isso, então nós teríamos mostrado que w é um subespaço de m 22 Ok, a primeira propriedade. Olhe A B e C B zero. Então a matriz zero 0000 está em W Ok, aqui um B e C. Eles só têm que ser realmente números. E zero é um número real. Certo, então temos zeros por toda parte aqui. Este zero aqui ou esta posição aqui. Isso tem que ser zero, e é. Então esta matriz zero está no set. W Agora para a segunda propriedade. Vamos escolher dois elementos arbitrários em w dizer que você é isso e V é isso Vamos u e V B em w Ok. Queremos mostrar que u mais V também está em w Ok, u mais V. Isso é igual a esta matriz. Além disso, vamos em frente e adicionar. Ok. Agora note que A mais D B mais E e C mais f Esses são todos números reais. E esta quarta posição é zero. Então isso está em W agora para a terceira propriedade, deixe você ser alguma matriz em W. E deixe k ser um scaler. Então pegue Kate vezes você e queremos mostrar que k u está em w. Ok, isso é multiplicar o K através. Bem, Kate, Times A é um número real K B e K c esses ar também riel porque estamos apenas multiplicando números reais. E esta quarta posição é zero. Então, sim, isso está em W. 34. Subsets que não são subespaços: nesta palestra, vamos olhar para subconjuntos que não são sub-espaços. Certo, vamos dar uma olhada e um exemplo. Vamos WB o conjunto de todos os pares Ex X ao quadrado onde X é real, então notado que w é um subconjunto de nossos dois. Ok, se você olhar para o segundo componente, seu X ao quadrado. Então, realmente, vai ser o gráfico de Lycos dois X ao quadrado, que é uma parábola. Parece com isto. Certo, uma parábola no avião. Não. W vai ser o conjunto de todos os pontos neste proble. Ok? E é um subconjunto dos nossos dois porque está contido em ou dois. Mas não é um subespaço dos nossos dois. E veremos isso verificando essas três propriedades subespaciais. Se qualquer uma dessas propriedades subespaciais falhar, então sabemos que não é um subespaço. Certo, vamos checar a primeira propriedade. Ok, bem, se deixarmos x ser zero, então X ao quadrado é zero zero quadrado, que é zero. Ok. E então zero está em W. Se olharmos para o gráfico, 00 é a origem. É bem aqui, e ele está no caso gráfico de 00 vetor percebendo w Vamos verificar o fechamento sob adição. Ok, então deixe você ser dado por este e v ser dado por este. Ok? Só escolhi sua inveja de W. Então vamos juntá-las. U mais v. Ok, então isso é X mais y vírgula X ao quadrado mais menino ao quadrado. E a questão é, isso está em W? Bem, seria se o segundo componente fosse o quadrado do primeiro componente, mas normalmente X ao quadrado. Mais y ao quadrado não é o mesmo que X mais y ao quadrado. Ok. Por exemplo, 11 e 24 mentindo w. mas quando adicionamos esses juntos, temos três vírgula cinco. Mas isso não está em W, porque cinco devem ser três quadrados, que é nove, mas cinco não é nove. Então ele não fica em w. Ok, então fechamento sob adição falha. Ok, uma vez que o fechamento sob adição falha, enfraquecer parou bem aqui. Sabemos que W não é um subespaço dos nossos dois. No entanto, vamos em frente e verificar a terceira propriedade. De qualquer forma, vamos ver se está perto em Scaler. Multiplicação múltipla. Ok, deixe você ser x X ao quadrado e vamos ver via scaler do que ver vezes você é C X vezes ou c X e C X ao quadrado. Assim como isso está em W. Vamos olhar para o segundo componente. Esse deve ser o primeiro componente ao quadrado C X ao quadrado, mas ver X ao quadrado é C ao quadrado, X ao quadrado. E geralmente isso não vai ser igual a c X ao quadrado. Então C X ao quadrado. É igual a C ao quadrado X ao quadrado, geralmente não. Por exemplo, se deixarmos CB três e deixarmos você vir antes então ver o Tempo você é três vezes a quatro não é igual a 6 12 OK, mas 12 não é seis quadrado, que é 36. Ok, então fechamento sob multiplicação scaler também falha. Uma vez que uma das propriedades de um subespaço falha, Sabemos que w não é um subespaço de ou dois. 35. Subsets que não são: Ok, vamos olhar para outro exemplo de um subconjunto, que não é um subespaço. Ok, deixe WB o conjunto de todas as duas matrizes que não estão no show vertebral. Aquele W não é um subespaço de m sub 22 Ok, vamos olhar para as propriedades subespaciais. O 1º 1 é onde o vetor de função Z está em. W Ok, a primeira propriedade é realmente verdadeira porque a matriz zero, na verdade, ele faz mentir w porque não é conversível. Se você calcular o determinante aqui, nós obtemos zero. Então, Então, matriz zero não está na vértebra e, portanto, faz leão w. Ok, então vamos passar para o segundo fechamento de propriedade em adição. Ok, deixe um ser esta matriz e deixe ser esta matriz, ok? Não, e seja que ambos não estão na coluna vertebral, porque se você calcular os determinantes de um que é seis menos seis, que é zero determinante de B. Bem, isso é seis menos seis, que é Zero. Está bem. E uma vez que os determinantes são zero A e B não estão na vertebral. Ok, então a e ser mentira em w. vamos adicionar e ser se nós adicioná-los, nós temos 10 zero menos história. Está bem? e o determinante disso é menos três, que não é zero. Certo, então a mais B é na coluna vertebral. Ok, Mas isso significa que um mais B não está em W porque w lembrar consiste nas grandes cidades que não estão na vertebral, mas um mais B é na vertebral. Ok, então, portanto, o fechamento sob adição falha, e podemos começar logo ali. E já sabemos que w não é um subespaço de m sub 22 36. Espan: e esta palestra vamos aprender sobre a noção de poupar deixe v ser um espaço vetorial e deixe s dado por v um v dois pontos um ponto VK Seja um subconjunto do Se cada vetor inveja pode ser escrito como uma combinação linear de vetores em s. e deixe s dado por v um v dois pontos um ponto VK Seja um subconjunto do Se cada vetor inveja pode ser escrito como uma combinação linear de vetores em s. que s vãos V s Spearing V, por exemplo, mostram que este conjunto gasta são para ok, então deixe você querer que você mente em nosso para onde você quer que você são realmente membros. Então podemos reescrever você no YouTube como você uma vez 10 mais você duas vezes 01 E esta é uma combinação linear dos vetores. 10 e 01 Então s vãos são também. Vamos fazer outro exemplo de show que é dado por isso. Gasta m sub duas vírgula dois onde m sub dois vírgula dois é o conjunto de todos os dois por duas matrizes. Ok, então o que um B c d ser uma matriz e e disse para onde a, B, C e d são números reais. Então podemos reescrever um B C D como oito vezes esta matriz mais b vezes. Esta matriz mais C vezes esta matriz mais de vezes esta matriz. Ok, então s Vãos e disse para Ok, mostrar que este conjunto s dado por 10 e 30 não abrange rt. Ok, Para mostrar isso, nós só precisamos encontrar um vetor em nosso para que não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em s então considere comum se pudéssemos escrever para To como uma combinação linear de 10 e 30 nós teria isso ver uma vez o primeiro vetor mais C duas vezes. O segundo vetor é igual a para algum scaler ver um e ver. Mas então isso significa que C um zero mais três c 20 é igual a dois vírgula dois. Então nós pegamos isso e igualando as coordenadas, nós pegamos isso. Certo, mas aqui temos zero igual a dois, o que é uma contradição. Portanto s não sobressalente são para ok porque encontramos um vetor duas vírgulas dois que não podem ser escritas como uma combinação linear. Ah, 10 e três Zer. Vamos fazer outro exemplo. Mostre que nos dado por este show que não gastamos e sub dois para. Certo, considere esta matriz. Se esta matriz pudesse ser escrita como uma combinação linear Ah, as matrizes em s. Então teríamos visto uma vez a primeira matriz mais C duas vezes a segunda matriz mais assento três vezes a terceira matriz mais C quatro vezes a quarta matriz mais C Matriz igual a isso. Ok, agora multiplicando. Os coeficientes veem um nesta matriz. Temos isto e fazemos o mesmo. Preveja, também, e assim por diante. Ok, agora, adicione essas matrizes e nós pegamos isso. Ok? Agora, igualando cada entrada, nós temos isso. Ok? Agora formem a matriz aumentada para este sistema de equações. - Tente resolver isso por Ghazi. Uma eliminação. Então vamos fazer a linha um menos raiz, também. - Ok , agora vamos fazer a fileira dois menos Rhodri. E vamos fazer Rhodri mais linha para OK. Observe que nesta última linha temos zero igual a quatro negativos, o que é uma contradição. Ok, então o sistema não tem solução e, portanto, são matriz. 12 para um não pode ser escrito como uma combinação linear da principal temporada s assim s não abrange M sub 22 37. de um de uma lista de um de um conjunto de a: Vimos alguns exemplos de subconjuntos s de um espaço vetorial V que não abrangem todo e. No entanto, se tomarmos o conjunto de todas as combinações lineares de vetores e são definidos s dado por isso se tomarmos , um, o conjunto de todos os combinações lineares vetores em s este conjunto irá formar um subespaço de e O conjunto de um vetores de combinações lineares e s é chamado de extensão de s e é denotado assim. A amplitude deste relembra o nosso exemplo anterior. Onde s foi isso e ser foi nosso para nós vimos que s não abrange todos os nossos dois. No entanto, se tomarmos o conjunto de todas as combinações lineares uh, 10 e 30 obtemos a extensão de Isso é o espanhol EUA é igual ao cheiro de ole combinações lineares de uma menina e 30 C um e C dois são números reais, e nós pode mostrar que isso é igual ao cheiro de todos os múltiplos scaler. Um, 10 Ok, então vamos mostrar que se isso está no espaço de s, então isso é igual a isso apenas multiplicando C um e C dois em cada vetor e adicionando-os. Nós pegamos isso e puxamos isso para fora, nós pegamos isso. Então, se deixarmos Kay ser esse scaler, então nossa combinação linear original é igual a K vezes 10 E isso está em discórdia de todos os múltiplos scaler de 10 Ok, então o span de s é um subconjunto do perfume de todos os múltiplos scaler de um jurado. Ok, não, deixe Kate vezes 10 mentir no conjunto de todos os múltiplos scaler de 10 Então que vezes 10 é igual a que vezes 10 mais zero vezes 30 Então vamos ver um b k e ver para ser zero que K vezes 10 pode ser escrito como ver um vezes 10 mais C duas vezes 30 onde c um é K e C para um zero. Portanto, temos que isso está no nosso espaço. Portanto, o conjunto de todos os múltiplos scaler de 10 é um subconjunto da extensão de nós. Ok, Agora, vez que a extensão de nós é um subconjunto do conjunto de todos os múltiplos scaler de 10 e que disse é também um subconjunto do intervalo de nós. Os dois conjuntos são iguais. Ok, então o intervalo de ask consiste em todos os múltiplos scaler. Ah, o jurado 0.1 no avião também está. Está bem, deixa-me desenhar isso. Aqui. Aqui está o plano, o eixo X e o eixo Y. E aqui está um seu e deixe-me desenhar uma flecha da origem para 10 Ok, podemos pensar em 10 como uma flecha no escalador de plano. Múltiplos do vetor 10 Apenas nos dê mais pontos na linha real. Então a extensão de s é todo o rial deitado no avião. Mesmo que S não abranja todos os nossos dois. Ele estendeu toda a linha real e é um subespaço de nossos dois. 38. Independência linear 2: a noção de independência linear, além da noção de span, é uma noção importante em álgebra linear Supõe-se que s é dada por este V um através de VK. Suponha que s é um subconjunto de um espaço vetorial V Se a equação vetorial ver um V um mais dr ponto mais ck VK é igual a zero. Se esta equação vetorial tem apenas a solução trivial, a solução trivial é onde se vê ponto, ponto, ponto ck nosso velho zero. Então, se esta equação vetorial tem apenas a solução trivial que o conjunto s é definido para ser linearmente independente. Ok, caso contrário, isso é para ser linearmente dependente? Está bem. Por exemplo, vamos ser dadas por este conjunto Um subconjunto Ah são muito Mostrar que s é linearmente independente. Ok, então eu suponho. Veja, uma vez o primeiro vetor mais C duas vezes o segundo vetor é igual a zero mostram que C um e C dois são ambos euro. Ok, então nós temos C uma vez 10 mais t duas vezes você é um 1 e isso é igual a zero Doutor para isso significa que nós temos isso depois de multiplicar o C 1 e C 2 em cada vetor. Agora nós adicionamos agora, uma vez que estes dois vetores são iguais seus componentes ou iguais e, portanto, C um e C dois ou construir o seu próprio. Assim, a equação vetorial dada anteriormente esta equação vetorial tem apenas a solução trivial. Portanto s é linearmente independente. Vamos fazer outro exemplo. Suponha que s é dado por este conjunto um subconjunto de nossos dois show que s é linearmente dependente. Ok, suponha que veja, uma vez o primeiro espectro mais C duas vezes um segundo vetor é zero. Encontre uma solução não trivial. Ok, então nós temos daqui, ver um jurado mais três C 20 que é igual a zero. Adicionando os dois vetores, temos isso. Então, igualando cada componente, nós obtemos isso. E para o segundo componente, zero é igual a zero. Ok, então nós só nos preocupamos com a primeira equação aqui. Repare que C 2 pode ser qualquer coisa. Então vamos ver, para ser t um parâmetro de resolução preveja um. Eu entendo isso e conectando eu entendo isso. Está bem. E veja, dois é T. Então deixe t b um, então veja um é menos três e C dois é um. Ok, então Steve Advirt é igual a menos três C dois igual a um. É uma solução não trivial. Então essa é uma solução não trivial. Escolha a equação vetorial que tínhamos anteriormente. Está bem? E você pode verificar se eu ligar menos três para C um e um para C dois. Eu entendo isso. Esta equação é verdadeira. 39. Determinação a independência linear ou dependência: Vamos fazer mais alguns exemplos. Vamos ser dadas por isso. Um subconjunto de artéria determina se s é linearmente independente ou linearmente dependente. Ok, suponha que veja, uma vez o primeiro vetor mais C duas vezes o segundo vetor mais C três vezes. Mas lá Victor é igual a zero. Então temos C um mais para ver mais três C três igual a zero Aqui. Eu só, hum, somei os primeiros componentes fazendo o mesmo para os segundos componentes. Eu entendo isso. E finalmente, para o terceiro componente, eu entendo isso. Certo, então temos um sistema de equações. Vamos formar a matriz aumentada e começar a fazer galáxia e eliminação. Ok, então aqui está a Matrix. Ok, então vamos fazer o papel um mais caminho para “Vamos fazer Wondered”. Cresça também. Vamos fazer a linha para menos Rhodri Agora, a partir da segunda equação, obtemos C dois mais dois si três igual a zero. Vamos ver. Três ser t. Então ver é menos dois T. E a partir da primeira equação, obtemos C um mais dois c dois mais três C três igual a zero. Então C um mais dois vezes ver dois. O que é isto? Mais três vezes assento durante o qual é T é o seu Ok, então nós pegamos isso e resolvemos quatro C um. Eu recebo chá, então C um é igual a dois t si dois é menos dois T e C três é T. Bem, pode ser qualquer coisa. Vamos, hum vamos b um. Então veja, um é um e si dois é menos dois e C três é um. Ok, então esta é uma solução não trivial para a equação vetorial original. Então s é linearmente dependente. Vamos fazer outro exemplo. Deixe-nos ser dado por este conjunto um subconjunto de P dois, onde p dois é o conjunto de todas as refeições Paulino de grau, menor ou igual a dois. Determine se S é linearmente independente ou linearmente dependente. Ok, suponha que veja, uma vez o primeiro vetor mais ele vezes o segundo vetor mais C três vezes. O terceiro vetor é igual a zero e zero, médico e P dois é o polinomial com coeficiente zero em todos os lugares. Ok, então nós temos este polinômio mais este polinômio mais este puxando nenhuma refeição igual a zero mais zero x mais zero x ao quadrado. Está bem. Combinando os termos leves, nós entendemos isso. Ok, então agora este polinômio no lado esquerdo é igual ao polinômio zero no lado direito para que possamos igualar todos os coeficientes. Certo, então temos esse sistema de equações. Vamos escrever isso em forma de matriz aumentada. E agora vamos fazer Galáxia e Eliminação. Vamos fazer menos dois fila um mais estrada e menos três. Fila um mais Rhodri. Agora vamos fazer menos dois. Fila dois mais Rhodri e Let's Multiply escreveu três por um negativo. Ok, então se você olhar para o papel três, estrada três nos diz que C três um zero, e escreveu para nós diz que c dois mais quatro assento três um zero. Mas isso significa que C dois mais zero é zero. Soc dois também é zero. A primeira sala diz um C um mais menos dois C três é zero. Então ver um menos dois vezes zero é zero, e assim ver um é zero. Ok, então C um, C dois e C três ou zero velho e, portanto, o sistema tem apenas a solução trivial, e então s é linearmente profundo. Independent S é linearmente independente Independent S é linearmente independente 40. Basis: Até agora, vimos que um subconjunto s dado pelos vetores V um a V k de um espaço vetorial V pode abranger todos os Nós também vimos o que significa para nós sermos linearmente independentes. Se s ambos se estende V e é linearmente independente do que s um conjunto para ser uma base para V. Ok, exemplo, o conjunto s dado por 10 e 01 Esta é uma base para o nosso para temos visto em exemplos anteriores que s vãos são muito e é linearmente independente. Na verdade, essa base é chamada de base padrão para o nosso. Para os nossos três, a base padrão é dada por 100 010 e 001 para a artéria e para o nosso fim. Em geral, a base padrão é dada por 100 pontos um 0.0.0 010 pontos um 0.0.0 e assim por diante. Assim como este e há e vetores neste conjunto este é para RN um espaço vetorial poderia ter uma base não-padrão por exemplo mostrar que s dado por este é uma base não-padrão para o nosso ok. Para mostrar que s é uma base que precisamos mostrar que s é linearmente independente e vãos são também . Primeiro, vamos mostrar que é linearmente independente, suponho. Veja, uma vez o primeiro vetor mais C duas vezes o segundo vetor é zero. Então temos isso igualando os componentes. Nós temos este sistema de equações, ok, ok, escrevendo isso em forma de matriz e fazendo operações de fileiras. Vamos fazer menos dois. Fila um mais Ruutu. E a partir da segunda fila, temos isso. Então veja dois. Deve ser zero. Não, a primeira fila diz-nos isto. Então, conseguimos isto. Se ligarmos, C 2 é igual a zero e assim ver, um também é zero. Certo, já que C 1 e C 2 ou ambos zero, , os dois vetores originais são linearmente independentes. Ok, Próximo, vamos mostrar que são vãos ou dois. Então deixe que você quer que você seja um vetor arbitrário e são também. Certo, precisamos mostrar que há escala. Er é C um e C dois tal que. Veja, uma vez o primeiro vetor mais C duas vezes. O segundo vetor é igual ao que você quer. Ok, então aqui temos o lado esquerdo igual a este. Ok, então nós queremos C um e C dois para que este vetor seja igual a você. Quero que você faça. Se igualarmos os componentes, teremos um sistema de equações como essa. Vamos escrever isso em forma de matriz e fazer operações de função. Então vamos fazer menos dois. Fila um mais rota para Vamos fazer 1/7, fileira dois. Ok, agora vamos fazer duas estradas para mais fila um, agora vamos fazer duas estradas para mais fila um, ok ? ok E simplificando um pouco isso. Nós pegamos isso. Então veja, um é igual a isso e veja, a é igual a isso. Tudo bem, então nós temos uma solução, e portanto s vãos também são. Certo, vamos fazer outro exemplo. Mostrar que s dado por este é uma base para M sub 22 o conjunto de todos os dois por duas matrizes. Em um exemplo anterior, já mostramos que s abrange M sub dois comuns a nós só precisamos mostrar que s é linearmente independente. Então suponha que C uma vez o primeiro vetor mais C duas vezes um segundo mais C três vezes o terceiro mais e quatro vezes antes é igual a zero. Então nós pegamos isso. Mais isto, mais isto. Além disso, tudo isso é você ir para zero agora somar todas essas matrizes e isso é igual a zero. Mas então se equipararmos as entradas de cada matriz, obtemos C 10 ver um zero C três e C quatro ou ambos zero. Ok, então todos os mares são zero e, portanto, s é linearmente independente e desde S é linearmente independente e se estende e sub dois vírgula dois base SZ e além disso s é a base padrão para M sub dois vírgula dois a base padrão para PN Este comestível refeições Paulino de grau luxúria enrico para acabar é dado por definir como este. Certo, essa é a base padrão para a PN. Como você pode ver, os vetores em uma base são como os blocos de construção para todos os outros vetores no espaço vetorial V. Acontece que se V um para V. K. é uma base para V, hum, não só cada vetor em V pode ser representado como uma combinação linear v um a V. K, mas a representação é única. Que, por exemplo, em p dois Paulino me 03 mais X menos, X ao quadrado pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores. Um x x ao quadrado. Certo, assim. Então é três vezes um mais um vezes x mais. Negativo um vezes X ao quadrado. Ok, então este polinômio pode ser escrito como uma combinação linear de um x e X ao quadrado em um e Onley de uma maneira, ou seja, desta forma. 41. Dimensão: Um fato importante sobre bases é que se um espaço vetorial V tem uma base que consiste em n vetores do que qualquer outra base para V tem em vetores, por exemplo, vimos que a dissidência consistindo de um x X ao quadrado é uma base para P dois. Acontece que este conjunto também é uma base para P dois. Note que ele também tem três vetores. Qualquer outra base não padrão para P dois terá três vetores. Estamos agora em uma posição para definir a dimensão de um espaço vetorial. Se V tem uma base consistindo em vetores, então a Dimensão a V é um número de vetores. Na base A dimensão de e é inequívoca porque todas as outras bases para V tem em vetores. Nós já vimos que o conjunto que consiste ah 1001 é uma base para o nosso. Então a dimensão dos nossos dois é duas. Considerado um subespaço w o conjunto de todos os múltiplos scaler de 46 Vamos encontrar a dimensão de W. Cada vetor em W pode ser escrito como um múltiplo scaler uh, 46 Então, o conjunto, consistindo de apenas o único elemento 46 gasta W para definir, consistindo de 46 que também é linearmente independente. Porque se ver, o tempo 46 é igual a zero, então isso é igual a zero. Então pegamos isso e resolvemos para C, temos jurado. Ok, então este conjunto consistindo apenas de um vetor 46 não só se estende por W, mas é linearmente independente. Portanto, que enviado é uma base quatro w. Mas isso significa que a dimensão de W é um. Podemos ver isso geometricamente enxertamos 46 assim, W um consiste em todos os múltiplos scaler. 46 Então w consiste em todos os pontos na linha passando pela origem e 2.46 Então deixe-me desenhar isso aqui. Então nós temos essa linha passando pelo 0.46 podemos ver que faz sentido que w é um subespaço unidimensional de nossos dois. Vamos fazer outro exemplo. Que w sejam estas matrizes comestíveis da forma como esta e B são números reais. W é um subespaço de m sub 33 O cheiro de todas as três matrizes encontrar a dimensão de w Ok, sem dúvida a matriz dada por isso é igual a esta matriz mais esta matriz, e nós podemos puxar que um ELT e puxar o BL Então cada matriz e W podem ser escritos como uma combinação linear, uh, esta matriz e aquela matriz. Assim, o conjunto composto desses dois gasta W. É fácil mostrar que este conjunto também é linearmente independente e, portanto, o conjunto forma uma base. Quatro w Portanto, a dimensão de W é 42. Coordenadas: se X é um vetor arbitrário, Envy e B é uma base para V que X pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e ser assim se ser igual a V um através VN, então X é igual a ver um v um mais ponto, ponto CN O fim para algum er escala c um para c n a escala de er c um a C n ou chamado co ordenadas de X co ordenadas de X em relação à base ser os vetores V um a V N nas bases B são como ingredientes em uma receita e a escala de er c um a C n nos dizer a quantidade de cada ingrediente necessário para cozinhar o vetor X. Tomamos a quantidade C um de vocês um a quantidade. Veja dois de V dois etcetera e Adam Ola para obter X é igual a dois c um b um mais C t v dois mais ponto um ponto mais C N v n para um vetor diferente. Por que inveja? Nós vamos ter quantidades diferentes para cada ingrediente para cozinhar até porque podemos formar uma matriz de coluna consistindo do tribunal em seu de X relativo a ser como se segue, ver um c dois pontos um ponto CN. Isso é chamado de cabo e matriz de X relativo a ser, e é denotado como este X e estar aqui. 43. Mudança de bases: vimos que um espaço vetorial pode ter mais de uma base. Por exemplo, este conjunto 1001 é uma base para o nosso. Mas isso também é. O 1º 1 é a base padrão, e o 2º 1 é uma base não padrão. Pode haver muitas bases fora do padrão. Deixe ser a base padrão e deixe ser primo ser a base não-padrão. Queremos ser capazes de representar um vetor em nossos dois, dado em termos de B como vetor em termos de ser primo e vice-versa. Por outras palavras, queremos poder mudar a base. Por exemplo, deixe X ser dado por 15 4 15 pode ser escrito como quatro vezes 10 mais 15 vezes 01 Assim, o tribunal nele as co-ordenadas para X em relação a ser são quatro e 15. Assim, a matriz co-ordenada para X em relação a ser dada por quatro 15. Queremos encontrar as coordenadas para X em relação a ser primo. Ok, então nós queremos 4 15 para ser igual para ver uma vez o primeiro vetor mais C duas vezes um segundo vetor então isso implica que 4 15 é igual a este vetor e definir os componentes iguais um ao outro. Conseguimos isto para termos um sistema de equações. E se tentarmos resolver isso, vamos fazer negativo duas vezes a primeira equação mais a segunda equação. E assim obtemos C dois igual a um e C um é igual a seis. Certo, então 415 é igual a seis vezes o primeiro vetor, mais um vezes o segundo vetor. Ok, então as comordenadas para X relativo ser primo são seis e um. Assim, a matriz co-ordenada para atos relativos a ser primo é dada por 61 Em nosso exemplo, nós mudamos a base de B para ser crime. Para o vetor X é igual a 4 15 Queremos ser capazes de fazer isso para qualquer vetor em nosso para Mas mais geralmente, se V é um espaço vetorial n dimensional, então V é um espaço vetorial dimensional e ser e ser primo ou duas bases para V. Ok, então se ele é um espaço vetorial e ser e ser primo são base para V, então nós queremos ser capazes de mudar a base de B para ser primo para qualquer inveja vetorial. Acontece que há uma maneira de fazer isso. Há uma Matriz p chamada matriz de transição matriz de transição das bases B para as bases Seja primo tal que p vezes A matriz co ordenada para X em relação a ser é igual a matriz de ordenada de pau para ex relativo ser primo. Se nos for dada a matriz co-ordenada para X em relação a ser, podemos simplesmente multiplicar pela matriz de transição P e o resultado será a matriz co-ordenada para X em relação a ser primo. Há um procedimento para encontrar a matriz de transição p formada matriz aumentada Seja prime ser e executar gals Jordan Elimination para obter a Matrix como este que você tenha a identidade eo que está no lado direito é p 44. Exemplos de as matrizes de a de transição: Certo, vamos fazer alguns exemplos. Encontre a matriz de transição de B para ser primo. Onde B é dado por isso e ser primo é dado por isso. Certo, formem a matriz aumentada. Seja nobre. Seja assim temos 12 menos 23 e depois temos que estar bem. Agora, vamos fazer garotas. Jordan, ensopado de eliminação menos dois. Fila um, mais estrada para Ok, então temos zero sete menos 21 Vamos fazer 1/7, fila dois. Ok, vamos fazer duas vezes. Fila dois, mais linha um, e nós ficamos com isso. Ok, então p a é esta matriz. Vamos caminhão P vezes 4 15 é igual a 61 Vamos verificar isso. Isto é verdade. Ok, então se importa P multiplicar aquele garoto 4 15 e nós temos isso, que reduz para 61 e isso é o que temos mais cedo. Certo, vamos fazer outro exemplo. Encontre a matriz de transição de B para ser primo. Onde B é dado por isso e ser primo. É dado por isso. Certo, então formamos a matriz aumentada. Seja nobre. Seja que seja nobre. Isto está bem? E B é isso Agora executem garotas. Eliminação de Jordan. Vamos dar negativo 1/12. Fila um. Vamos fazer 1/4 bro. Dente. Então agora vamos fazer um negativo. Sujeira. Fila dois, mais fila um. Ok, então qualquer matriz que temos aqui é P ok. Suponha que a matriz de coordenadas X para X em relação a ser é dada por uma mosca negativa. Encontre a matriz de coordenadas para X relativo para ser primo. Ok, então nós pegamos a matriz de transição p e multiplicamos pela matriz de coordenadas para X relativo estar bem, então nós multiplicamos p por isso, e se você multiplicar isso tudo fora, você deve obter isso. Ok, então nenhum milho na matriz para X relativo ser primo é dado por isso. Ok, então vamos verificar. X é igual a negativo uma vez este espectro mais cinco vezes este vetor. Ok, então X é igual a isso aqui. Agora, vamos verificar, um, negativo 13/4. Vamos encontrar duas vezes este vetor mais negativo 13/4 vezes um segundo vencedor. Ok? E temos a mesma coisa. Também é possível mudar a base e a outra direção de ser principal para ser. Se p é a matriz de transição parece matriz de transição de B para ser primo do que p em verso é a matriz de transição de Be prime também para estar bem em nosso exemplo Se queremos que a matriz de transição de ser primo para ser nós apenas encontrar inverso de p E eu estava dado por este inverso de sabão é dado por esta fórmula e eo determinante de P é negativo 1/12 Ok, multiplicando tudo isso fora nós obtemos isso.