Lineare Algebra für Anfänger:innen: Der Weg zu großen Karrieren

1. Einführung Vortrag: Willkommen bei linearer Algebra für Anfänger, Offene Türen für große Karrieren. Mein Name ist Richard Han. Dies ist ein erster Kurs in der linearen Algebra. Wenn Sie ein berufstätiger Profi brauchen eine Auffrischung auf linearer Algebra oder ein kompletter Anfänger, der lineare Algebra zum ersten Mal lernen muss, diese Online-Kurse für Sie Wenn Sie beschäftigt sind Zeitplan erlaubt es Ihnen nicht, zurück zu einem traditionelle Schule. Dieser Kurs ermöglicht es Ihnen, nach Ihrem eigenen Zeitplan zu studieren und Ihre Karriereziele weiterzuentwickeln, ohne dabei zurückgelassen zu werden. Wenn Sie planen, lineare Algebra im College zu nehmen, ist dies ein guter Weg, um voranzukommen. Wenn Sie gerade kämpfen mit linearer Algebra oder halb Kampf mit ihr in der Vergangenheit, jetzt ist die Zeit, zu meistern. Nachdem Sie diesen Kurs absolviert haben, haben Sie Ihr Wissen über lineare Algebra für Ihre Karriere aktualisiert, so dass Sie ein höheres Gehalt verdienen können . Sie haben eine notwendige Voraussetzung für lukrative Karrierefelder wie Informatik, Datenzeichen, Versicherungsmathematik, Finanzen, Mathematik, Ingenieurwesen, Ingenieurwesen, Kryptographie und Ökonomie. Sie werden in einer besseren Position sein, um einen Master- oder PhD-Abschluss zu verfolgen, so dass wir hier map dot Org's verwenden. Einige High-End-Gehälter für solche Bereiche wie Elektroingenieur, $136.690 pro Jahr, Informatiker $168.776 pro Jahr. Und laut Glassdoor dot com ist das durchschnittliche Gehalt für einen Datenwissenschaftler $118.709. Bist du das? Hier sind einige berühmte Verwendungen der linearen Algebra im maschinellen Lernen. Auch hier können Vektoren verwendet werden, um die Dimensionalität eines Datensatzes mit einer Technik, die als Hauptkomponentenanalyse bezeichnet wird, zu reduzieren . In der Kryptographie können Nachrichten verschlüsselt und entschlüsselt werden. Verwendung von Matrixoperationen und in der Finanzen. Regressionsanalyse kann verwendet werden, um Beziehungen zwischen Finanzvariablen zu schätzen. Beispielsweise die Beziehung zwischen der monatlichen Rendite zu einem bestimmten Bestand und einer monatlichen Rendite an die S kann die Beziehung zwischen der monatlichen Rendite zu einem bestimmten Bestand und einer monatlichen Rendite an die S und P 500 anhand eines linearen Regressionsmodells geschätzt werden. Das Modell kann wiederum verwendet werden, um die zukünftige monatliche Rendite des gegebenen Bestands zu prognostizieren. In diesem Kurs befasse ich die Kernkonzepte wie Ghazi, eine Eliminationsvektoren, Matrix-Algebra, Determinanten, Vektorräume und Unterräume 2. Gaussian Elimination mit 2 Gleichungen: Okay, in diesem Abschnitt werden wir auf das Lösen von Systemen von linearen Gleichungen schauen. Wir werden uns den Prozess der Gaußschen Eliminierung ansehen, und es hat drei Dinge, die Sie tun können. Wir werden uns den Prozess der Gaußschen Eliminierung ansehen, Das erste, was Sie tun können, ist, zu Gleichungen zu wechseln. Die zweite Sache ist, dass Sie eine Gleichung mit einer Zahl ungleich Null multiplizieren können. Das dritte, was Sie tun können, ist ein Vielfaches einer Gleichung zu einer zweiten Gleichung hinzuzufügen. Okay, jetzt ist dieses Set von drei Dingen, die du tun kannst, das heißt Galaxie und Elimination. Das wird viel mehr Sinn machen. Wenn wir uns einige Beispiele ansehen Okay, lassen Sie uns hier ein Beispiel machen. Wenn wir uns einige Beispiele ansehen Okay, Nehmen wir an, Sie hatten ein System von Gleichungen wie dieses. Hier haben Sie also zwei Gleichungen und zwei Variablen X und Y.Das ist also ein System von zwei Gleichungen in zwei Variablen. zwei Gleichungen und zwei Variablen X und Y. Was wir hier tun wollen, ist zu versuchen, dieseX-Variable hier loszuwerden , diese , also machen wir mal die erste Gleichung negativ. Fügen Sie das zur zweiten Gleichung hinzu. Wenn Sie die erste Gleichung mit einem negativen vier multiplizieren, wird dieser Teil negativ für X, das mit diesem Forex in der zweiten Gleichung addiert und Ihnen Null X gibt, die die X-Variable abbricht. Lassen Sie mich also die erste Gleichung mit negativen vier multiplizieren. Und dann lasse ich die zweite Gleichung, wie es jetzt hier ist, sehen wir negativ für X und wir sehen Forex hier. Fügen wir diese beiden Gleichungen hinzu. Ich bekomme Null X plus neun. Warum er zu minus vier geht. Null x ist nur Null. Also bekomme ich neun. Warum er zu minus vier geht. Lasst uns Schwefel. Warum teilen Sie beide Seiten durch neun und Sie werden negativ für neun? Ich will herausfinden, was exes. Also werde ich das einstecken. Warum Wert zurück in zwei. Die erste Gleichung X minus zwei Mal negative vier Messer. Es geht zu einem jetzt Vereinfachen Sie diesen Schwefel X durch Subtrahieren 8/9 von diesen Seiten und ich bekomme 1/9. Okay, also X entspricht 1/9. Und warum gleich negativ für neun für Nacht? Das sind also Ihre Werte für X und Y, und das ist eine Lösung für dieses Gleichungssystem. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. Nehmen wir an, wir hatten dieses Gleichungssystem. Lasst uns auch die erste Gleichung mit Negativ multiplizieren und zur zweiten Gleichung hinzufügen. Okay, also werden wir diese beiden Gleichungen hinzufügen, ich bekomme Null X plus Null y gleich eins, und diese linke Seite gleich Null. So bekommen wir hier einen Widerspruch, da wir hier einen Widerspruch bekommen und der ursprüngliche Satz von Gleichungen keine Lösung hat. Okay, lassen Sie uns noch ein Beispiel machen. - In Ordnung. Lassen Sie uns , versuchen,das negativ 14 zu sein, damit die X-Variablen abbrechen. Lassen Sie uns minus zweimal die erste Gleichung tun und fügen Sie sie der zweiten Gleichung hinzu. Und die zweite Gleichung bleibt hier gleich. Okay, jetzt fügen wir hinzu, ich bekomme Null X plus Null y er geht auf Null, und so Null gleich 20 Nun, das sagt mir nichts. Wenn Sie hier zurückblicken, beachten Sie, dass die zweite Gleichung nur doppelt so hoch ist wie die erste Gleichung. Also, wirklich, wir haben nur eine Gleichung in nur der 1. 1 Die zweite Gleichung ist redundant. Das ist alles, was wir hier haben. Ist das Gleichungsnotiz? - Warum? Warum könnte irgendetwas sein. Lassen Sie also, warum einige Parameter t einige Variable t Lassen Sie uns das für warum hier einstecken und beleidigen Sie für X sieben X plus fünf t Egos, auch. Um fünf t auf die andere Seite zu springen. Teilen Sie beide Seiten durch sieben. Und das ist es, was ich bekomme. Also der Satz aller Lösungen wird der Satz aller Paare X und Y sein. Lassen Sie uns X in Bezug auf Tee schreiben, wie wir es hier verkauft haben und warum? Warum ist nur Tee und er ist eine freie Variable. Es könnte also alles sein, was eine reelle Zahl sein könnte. Also schreiben wir es wie dieses t liegt in der Abstammung von reellen Zahlen. Okay, also, ähm, die Menge aller Paare wie dieses, wo t eine reelle Zahl ist? Das sind die Lösungen für diesen ursprünglichen Satz von Gleichungen. 3. Gaussian Elimination und Reihe Echelon Formsysteme von 3 Gleichungen: okay für ein System von drei Gleichungen und drei Variablen, die wir in ähnlicher Weise lösen wollen , indem wir die Variablen eins nach dem anderen loswerden. Bis wir eine dreieckige Form haben. Schauen wir uns ein Beispiel an. Okay, das ist also unser Gleichungssystem. Wir haben drei Gleichungen und drei Variablen. X, y und Z Beachten Sie dies in der zweiten Gleichung. , Wir haben ein negatives X und wenn wir das der ersten Gleichung hinzufügen würden, würden die Ex-Treme abbrechen. Also lasst uns die erste Gleichung machen. Fügen Sie das zur zweiten Gleichung hinzu. Okay, die erste Gleichung bleibt gleich. Nun werden wir diese zweite Gleichung ersetzen, indem wir das Ergebnis des Hinzufügens der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung nehmen. Also bekommen wir Null x plus drei y plus vier z , die dritte Gleichung bleibt gleich. Also lasst es uns hier unten neu schreiben. Ok? , Lassen Sie uns versuchen,diesen Ex-Termin hier unten in dieser Schmutzgleichung loszuwerden, indem wir die erste Gleichung mit minus drei multiplizieren . Also, das wird so sein, minus dreimal die erste Gleichung, plus die dritte Gleichung. Okay, Sue, lassen wir die erste Gleichung so, wie sie ist, die zweite Gleichung bleibt einfach gleich. Jetzt hier werden wir minus drei X plus drei x bekommen, so dass Ihnen das Null x geben wird, damit wir keinen nächsten Begriff haben. Wir haben minus drei Y minus drei Draht, das ist minus sechs Y minus drei Z plus Zia minus zwei Z und dann minus dreimal Null, was Null minus eins ist, was minus eins ist. Okay, also schauen wir uns das hier unten an. Diese beiden Gleichungen, lasst uns versuchen, den warum Begriff abzubrechen? Okay, wir wollen, dass die drei hier sind, der Koeffizient sechs ist, also dass, wenn wir es zu den Minus sechs hinzufügen, warum sie abbrechen. Lassen Sie uns also die zweite Gleichung hier mit zwei multiplizieren. Okay, also zwei Mal eine zweite Gleichung, Ähm, füge das zur dritten Gleichung hinzu. Okay, also in Ordnung, lasst uns die erste Gleichung neu schreiben. Die zweite Gleichung bleibt gleich. Und dann hier bekommen wir Ah, sechs und sechs minus sechs. Warum? Was Null i A Z minus zwei z ist, was 60 und dann minus eins ist, was eins ist. Okay, jetzt schauen Sie hier unten auf diese Zigarren E wir wollen, dass der Koeffizient eins ist. Also lassen Sie uns aufteilen. Teilen Sie sich durch sechs. Also wird es 16 Mal bei der dritten Gleichung sein. Also ist es hier alles neu zu schreiben und wir bekommen Z. Er geht zu dir 16 Schau dir den Koeffizienten an, warum in dieser zweiten Gleichung wollen, wir in dieser zweiten Gleichung wollen,dass es eins ist. Also teilen wir die zweite Gleichung durch drei. So wunderte sich mal eine zweite Gleichung. Okay, jetzt haben wir diesen Satz von Gleichungen, alle Koeffizienten dieser führenden Variablen hier oder eins. Okay, jetzt, wenn Sie diese dreieckige Form hier haben, wir sie auf diese dreieckige Form reduziert. Alle Variablen in der Vorderseite haben einen Koeffizienten. Dann sagen wir, dass es in Rhode Echelon Form ist. Okay, rudern Sie sich in Chalon-Form. Okay, das ist also dieses Jahr, diese dreieckige Form. Wenn wir das System der Gleichungen dazu bringen können, so und alle Koeffizienten Air eins aussehen, sagen wir, dass es in Reihe ist. Hervorragende Form. In Ordnung, lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. Nehmen wir an, Sie hatten diese Gleichungen. Okay, lassen Sie uns versuchen, diese X-Variable hier loszuwerden, indem wir die erste Gleichung mit negativem drei minus das Dreifache der ersten Gleichung multiplizieren und diese zur zweiten Gleichung hinzufügen. Was kriegen wir? Okay, also lassen Sie die erste Gleichung, wie es ISS hier haben wir, ähm, minus drei X plus drei X, das ist Null X hier haben wir minus drei Mal minus zwei, das ist sechs. Also werden wir sechs y plus zwei I haben, das ist acht y minus 15 z meins ist E, das ist 16 z und dann minus sechs minus zwei, was minus acht ist. Okay, hier enden wir mit diesem Gleichungssystem. Sehen Sie sich diese zweite Gleichung hier an. Beachten Sie, dass Z alles sein könnte, also lassen Sie Z b t. Und er ist eine freie Variable. Lassen Sie uns das für Z hier einstecken. Und so, zum einen. Okay, teilen wir uns durch acht auf. Und ich verstehe, warum, in Bezug auf Tee, Okay, also haben wir bereits Z. Wir haben warum, und jetzt wollen wir für X lösen. Also lasst uns die erste Gleichung hier verwenden und stecken, was wir für warum das zu t minus eins war. Z war t. Also lasst uns das hier reinstecken. Ok? Und vereinfachen. Also bekommen wir X plus zwei plus t. Er geht zu den Zweien, bricht auf jeder Seite ab. Subtrahieren Sie t von beiden Seiten. Wir werden su minus t ausführen. Okay, also X ist minus t. Warum ist t minus eins? Und Z ist nicht, also haben wir die Menge von allen, äh, Punkten wie diesem, wo t eine echte Zahl ist, Okay, er ist eine freie Variable. So bilden alle Punkte dieses bilden unsere Lösungen für den ursprünglichen Satz von Gleichungen. Okay, lassen Sie uns noch ein Beispiel machen. - Okay , schauen wir uns die 1. 2 Gleichungen an. Wenn wir die erste Gleichung nehmen und die zweite Gleichung subtrahieren, können wir diesen X-Termin loswerden. Also lasst uns e eins minus e zu tun. Okay, also lasst uns die erste Gleichung neu schreiben. Und hier werden wir die erste Gleichung nehmen und die zweite Gleichung subtrahieren. Also hier brechen die Extreme ab. Wir verstehen warum, minus Weiss. Und das ist eigentlich für I. Und dann minus Z minus Z, was minus zwei Z ist. Hier bekommen wir Null minus eins, was negativ ist, und die Schmutzgleichung bleibt gleich. Okay, nun sieh dir die erste Gleichung und die dritte Gleichung an. Wir wollen diesen X-Termin loswerden. Lassen Sie uns also die erste Gleichung mit Negativ multiplizieren. Zu negativ, auch. Male die erste Gleichung. Und füge das zur dritten Gleichung hinzu. In Ordnung. Ok. Also minus zwei X plus zwei X Null X minus zwei I plus warum ist minus eins hier? Wir müssen z meins ist er, der nur sehen Null plus Null ist, was Null ist. Okay, schauen wir uns die letzten beiden Gleichungen hier an. Lassen Sie uns versuchen, den Y-Begriff hier unten loszuwerden. Also lasst uns die zweite Gleichung machen, Kate. Das ist dieses Jahr. Die zweite Gleichung. Plus zwei Mal die dritte Gleichung. Okay, ich werde hier nur alles neu schreiben. Ok? Für diese dritte Gleichung muss ich minus zwei y, was Ihr Verbündeter ist. Okay, wir haben minus zwei Z plus zwei Z, das ist Null Z also ist alles auf der linken Seite Null minus. Eins plus Null ist minus eins. Okay, also bekommen wir hier einen Widerspruch. Und da wir zu einem Widerspruch kommen, wissen wir, dass der ursprüngliche Satz von Gleichungen keine Lösung hat. Ok, keine Lösung. 4. Elementary: in dieser Vorlesung werden wir uns elementare Zeilenoperationen ansehen. Wir können ein System von Gleichungen mit einer Matrix neu schreiben. Schauen Sie sich zum Beispieldieses Gleichungssystem an. zum Beispiel Wir haben dieses Gleichungssystem tatsächlich in einer früheren Vorlesung gelöst, wir können eine Matrix ausführen, die dieses Gleichungssystem kapselt. Okay, Okay, die Art und Weise, wie wir das tun, ist, dass wir uns die Koeffizienten der Variablen in diesem Gleichungssystem ansehen . Schauen Sie sich die erste Gleichung an. Wir sehen die, um die Koeffizienten sind 11 und eins. Okay, also lasst uns das hier richtig machen. Eins, eins und eins. Auf der rechten Seite haben wir die konstante Null, also werden wir das hier richtig machen. Okay, jetzt gehen Sie zur zweiten Gleichung. Wir sehen, dass die Koeffizienten negativ sind. Eins zu und drei. Okay, also lasst uns die NATO-Eins zum Einstieg auf der rechten Seite, wir haben eine. Okay, gehen wir zur dritten Gleichung. Die Koeffizienten sind drei minus drei und eins. Er sagte drei minus drei und eins. Der konstante Term ist negativ. Also lasst uns das hier richtig machen. Okay, also diese Matrix, die wir gerade gebildet haben, nennt man die Augmentin Matrix. Okay, jetzt können wir das System mit den gleichen drei Operationen lösen, die wir früher verwendet haben. Anstatt Operationen an Gleichungen durchzuführen, können wir Operationen an Zeilen durchführen. Die Operationen werden als elementare Zeilenoperationen bezeichnet. Okay, das erste, was du tun kannst, ist, auf Rose zu wechseln. Das zweite, was Sie tun können, ist eine Zeile mit einer Zahl ungleich Null zu multiplizieren. Und schließlich ist das dritte, was Sie tun können, ein Vielfaches von einer Zeile zu einem zweiten Raum hinzuzufügen. Dies sind genau die gleichen drei Schritte, die Sie früher in Galaxie und Elimination gesehen haben. Okay, lass mich die Matrix nochmal schreiben. Die Augmented Matrix waas 11 10 minus 12 drei und eins drei, minus drei eins und minus eins. Okay, das war also unsere erweiterte Matrix. Schauen wir uns die ersten 2 Reihen an. Wenn wir diese beiden Zeilen hinzufügen würden, beachten Sie die in der negativen, sie würden hier abbrechen. Also lassen Sie uns tun, das ist eine plus Straße zu rudern, und das wird unsere neue Straße nach OK sein, sagte die erste Straße bleibt einfach die gleiche. Die zweite Reihe. Wir fügen diese zwei Reihen hinzu, also erhalten wir Null drei, vier und eins. Der Schotterweg bleibt gleich. Okay, jetzt schauen wir uns die dritte Straße dort an. Wir wollen die drei loswerden. Der Weg, das zu tun, ist, dass wir dreimal in Reihe eins minus nehmen und das dann in Zeile drei hinzufügen . Okay, also lass uns minus drei machen. Reihe eins, plus Reihe drei. Ok. Das wird uns unsere neue Reihe drei geben. Lassen Sie mich das hier schreiben. Ok. Die ersten 2 Reihen, sie blieben einfach gleich. Er wird es hier umschreiben. Jetzt. Die dritte Reihe, ich bekomme minus drei plus drei, was Null minus drei minus drei ist, was minus sechs minus drei plus eins ist, was minus zwei Null plus negatives eins ist, was negativ ist. Und das ist es, was ich bekomme. In Ordnung, konzentrieren wir uns hier auf die zweite und dritte Gleichung. Wir wollen versuchen, das minus sechs dort loszuwerden. Aber wenn wir die zweite Rolle mit zwei multiplizieren würden, würden wir hier eine Sechs bekommen, okay? Und dann waren wir werden im Stande sein, dass dazu die dritte Gleichung hinzuzufügen und das minus sechs aufzuheben . Okay, also lasst uns das machen. Das tue ich auch. mal geschrieben, um plus Zeile drei, die uns unsere neue Rolle geben wird. Drei. Okay, lass mich das hier neu schreiben. Okay, also mussten wir auf die Plus-Rolle drei gehen, um unsere neue Reihe drei zu bekommen. Okay, lass mich das hier machen. Ok. Das wird uns also sechs minus sechs geben, was Null ist. Okay, acht minus zwei. Welche sechs? Tu minus eins , Das ist eins. Ok. Alles klar, schauen wir uns das an. Dritte Reihe. Wir wollen diesen Koeffizienten. Sechs, um eins zu sein. Also teilen wir uns durch sechs auf. Ok? Teilen Sie die dritte Reihe durch sechs. Jetzt, um uns unser neues drittes Zimmer zu geben. Ok? Und das ist es, was wir hier bekommen. In Ordnung, schauen wir uns die zweite Reihe an. Ok? Sieh dir den Koeffizienten drei an. Wir wollen, dass das eins ist. Also teilen wir die zweite Reihe durch drei. Okay, das wird unser neuer zweiter Raum sein. Okay, lass es mich genau hier machen. Ok. Also teilte ich alles durch drei in diesem zweiten Raum. Ok? Beachten Sie. Beachten Sie. Diese dreieckige Form hier dieser Matrix und alle Koeffizienten entlang dieses diagonalen Teils ist eins. Okay, wenn du das hast, wenn du diese Art von Form und alle Koeffizienten entlang dieser diagonalen Linie hier hast, unsere oder eins. Dann sagen wir, dass es in Reihe petulant Form Ok schrieb in Chalon Form. 5. Zusätzliches Beispiel: Lassen Sie uns ein zusätzliches Beispiel machen. - Okay , sagen wir, wir hatten dieses Gleichungssystem. Lassen Sie uns richtig. Die erweiterte Matrix. Sehen Sie sich die erste Gleichung an. Es gibt hier keinen Ekstrom, also ist der Koeffizient Null. Der Koeffizient für den Weisen. Und der Koeffizient für Zia eins. Okay, gehen wir zur zweiten Gleichung. Ihre Koeffizienten sind eins minus eins minus eins. Der konstante Begriff ist eins auf der rechten Seite. Genau hier. Gehen wir zur dritten Gleichung. Wir müssen und minus eins. Und die Kosten. Inter Mysterium. Okay, sieh dir die erste Reihe hier an. Da ist eine Null an der Spitze. Die obere linke Ecke. Wir wollen keine Null da. Wir wollen eine Eins. Also lasst uns den ersten wechseln. Die erste Reihe mit dem zweiten Raum. Okay, also nehmen Sie die erste Straße, wechseln Sie sie mit der zweiten Reihe, dann kriegen wir das. Okay, schauen wir uns diese gerührte Reihe hier an. Ah, wir haben zwei. wollen wir auch loswerden. Und machen Sie es auf Null. So können wir das tun, indem wir den ersten Wurf auch mit Negativ multiplizieren. Und das füge ich dem dritten Raum hinzu. Das wird uns unseren neuen Fall in der dritten Reihe geben. Es wird Null um hier wird minus zwei Mal negativ eins haben, das zu zwei plus zwei ist vier tu minus eins, was eins minus zwei plus drei ist, was eins ist. Okay, das ist es, was wir hier enden werden. Nein, versuchen wir, die vier hier unten loszuwerden. Okay, nehmen wir minus vier Mal geschrieben. Und füge das in Zeile drei hinzu, um uns unsere neue Reihe drei zu geben. Okay, lassen Sie mich das hier neu schreiben. Also haben wir es getan. Minus vier. Straße zu plus Reihe drei. Okay, das ist genau hier. Okay, also bekommen wir Null minus vier plus 40 minus vier plus eins ist minus drei Null plus eins eins ist eins. Okay, also sieht es hier ziemlich gut aus. Ähm, außer dass das letzte Clo-Fischen minus drei ist. Wir wollen, dass das ein Eins wird. Also lassen Sie uns durch minus drei teilen. Die dritte Reihe, die uns unser neues drittes Zimmer gibt. Okay, also teilt man sich hier durch Minus-Story, hat Dad uns einen hier gegeben. Auf der rechten Seite erhalten wir minus 1/3. Okay, also beachte diese dreieckige Form hier, okay? Und alle Koeffizienten sind eins entlang dieser Diagonale, also ist es in Zeile H allein Form 6. Vektoroperationen und lineare Kombinationen: in dieser Vorlesung werden wir über Vektoroperationen und lineare Kombinationen lernen. Okay, also was ist ein Vektor? Ein Vektor ist eine Liste von reellen Zahlen. Okay, also ein Vektor ist eine Liste von reellen Zahlen. OK, das ist im Grunde, wenn ein Vektor ist, um, schauen wir uns ein Beispiel an, Also nennen wir es v que Null und minus zwei. Dies ist ein Vektor in unseren beiden sind nur symbolisiert die Menge aller Paare in, ähm, sind auch. Es wird also Paare wie dieses sein, bei denen jeder dieser Einträge echte Zahlen sind, und es sind unsere beiden, weil es nur zwei Einträge hier gab. Lassen Sie uns ein anderes Beispiel sehen Sagen Sie den Vektor Sie 03 und minus zwei. Beachten Sie. Dieser Vektor hat drei Einträge. Das ist also ein Vektor in unseren drei. Ok? Jetzt wollen wir in der Lage sein, zwei Vektoren hinzuzufügen. Also, wie machen wir das? Okay, wir können bei zwei Vektoren Ah u eins und u zwei. Sagen wir, du hast gewonnen, und du auch. Wir können zwei Vektoren hinzufügen, indem Sie einfach ihre entsprechenden Einträge hinzufügen. Werfen wir einen Blick. Zum Beispiel, sagen wir, Sie gewonnen gleich zwei dieser Vektor 03 minus 22. Und du auch. Ist dieser Vektor sieben bis fünf. Jetzt möchten wir Ihnen eins und Sie auch hinzufügen. Nun, wir haben gerade den Vektor gebildet, den Sie erhalten, wenn Sie die entsprechenden Einträge in jedem Vektor hinzufügen . Schau dir den ersten Eintrag an, die Null. Sie werden das zu sieben hinzufügen. Also, das sind sieben. Dann haben Sie den zweiten Eintrag, der drei ist. Fügen Sie das dem zweiten Eintrag hier hinzu, das heißt, damit Sie jetzt fünf für den dritten Eintrag geben, minus 22 plus fünf, was minus 17 ist. Okay, ziemlich einfach. Wenn Sie zwei Vektoren hinzufügen möchten, fügen Sie einfach die entsprechenden Einträge in jedem dieser Vektoren hinzu, die Ihnen das Hinzufügen dieser beiden geben . Jetzt können wir auch einen Vektor mit einem Scaler multiplizieren. Er Scaler. Sehen Sie, ein Scaler ist nur ein anderer. Eine andere Art, Rial Nummer zu sagen. C ist also eine reelle Zahl. Also wollen wir einen Vektor mit einer reellen Zahl multiplizieren. C. Lasst uns ein Beispiel machen. wir an, C war acht und Vektor V ist eins minus 12 Okay, Nehmenwir an, C war acht und Vektor V ist eins minus 12 Okay, wir wollen sehen Times V, das ist achtmal der Vektor V und die Art und Weise, wie wir einen Vektor mit einem Scaler multiplizieren, ist nur, jeden Eintrag mit diesem Scaler zu multiplizieren. Es ist also sehr natürlich. Es ist das Offensichtliche, was zu tun ist. Multiplizieren Sie einfach jeden Term. Also, das sind acht minus acht und 16. Okay, nein, Wenn wir eine Reihe von Vektoren eine Reihe von Vektoren v ein v zwei Punkt Punkt Punkt Punkt VK OK, eine Reihe von Vektoren wie aber und Maßstab er se sehen Sie, um und den ganzen Weg zu CK. Dann sehen Sie ein V eins plus C zwei V zwei Ups, plus Punkt, Punkt Punkt plus C K v K. Das nennt man eine lineare Kombination. Reinigen Sie Ihre Kombination. Es ist eine lineare Kombination von V eins bis VK und der konstanten C eins bis C k. Diese Luft, die Gewichte genannt wird. Okay, sehen Sie mal V eins plus C zwei mal V zwei plus Punkt, Punkt Punkt plus ck mal. VK. Dieser ganze Ausdruck wird als lineare Kombination Ah v eins bis V K bezeichnet. Und diese Koeffizienten c ein C zwei, etcetera den ganzen Weg, um jene Luft, die die Gewichte genannt werden, zu ck. Werfen wir einen Blick auf ein Beispiel. Okay, hier ist ein Beispiel. Lass uns ein V eins ist das V zwei ist das und V drei ist das okay? Was ist mit Skala? Er sieht einen. Sagen wir, es ist eins. Si zwei ist drei. Und sagen wir, C drei ist minus fünf. Okay, also lassen Sie uns die lineare Kombination bilden. Sehen Sie auch ein V eins plus C TV. Plus C drei V drei. Okay, das ist eine lineare Kombination. Ihre Kombination der Vektoren B eins, V zwei und Sieg mit Gewichten eins drei und negativen fünf. Okay, nein, wir können diese lineare Kombination hier vereinfachen. Wenn wir alle diese Werte hier und Vektoren V eins bis V drei anschließen würden. Das bekommen wir. Also bekommen wir ein Mal 112 plus dreimal Null minus 10 plus negativ fünfmal 222 Jetzt wissen wir, wie man einen Skalierer Zehe einen Vektor multipliziert. Also lasst uns das hier machen. Also bekommen wir 112 Null minus drei Null plus minus 10 minus 10 minus 10 minus 10. Okay, jetzt möchten wir einfach diese drei Vektoren hinzufügen, so dass wir einfach voran gehen und jeden dieser Einträge hinzufügen . Also eins plus Null minus 10, was minus neun ist. Que eins minus drei minus 10. Das sind minus 12. Zwei plus Null minus 10, was minus acht ist. Okay, also gingen wir voran und vereinfachten diese lineare Kombination. Und wir bekommen diesen anderen Vektor hier, um ein Ergebnis zu finden. Wir können auch einen Vektor X mit einer Matrix multiplizieren. A Also, zum Beispiel, sagen wir, a war diese Matrix und X war der Vektor 5 zu 4. Wir können die Matrix A mit dem Vektor X so multiplizieren. Okay, wir setzen den Vektor X direkt neben die Matrix A. Die Art, wie wir diese beiden Vektoren multiplizieren, ist das erste. Hör zu, es tut mir leid. Die Art, die Matrix mit dem Vektor zu multiplizieren, besteht darin, zuerst die erste Zeile zu betrachten und den ersten Eintrag hier in der einen zu multiplizieren. Multiplizieren Sie das auf fünf. Der erste Eintrag in diesem Vektor Tun Sie das gleiche mit Null nec entspricht und multipliziert vier. Also, was wir bekommen, ist ein Mal fünf plus Null mal zwei plus zwei Mal für que die gleiche Sache mit der zweiten Reihe hier tun . Also dreimal fünf plus ein mal zwei plus ein negatives einmal vier. Okay, geh in die dritte Reihe hier zwei Mal fünf plus zwei mal zwei plus null mal vorerst vereinfachen Sie hier, also bekommen wir fünf plus acht, 15 plus zwei minus vier 10 plus vier plus vier plus Null, und wir erhalten das Endergebnis nach dem Hinzufügen dieser Begriffe. 7. Vector und die Matrixgleichung Ax=b: sind wir nun bereit, Vektorgleichungen und die Matrixgleichung zu betrachten. X gleich zwei b Recall das System der Gleichungen X plus Y plus C gleich Null minus X plus zwei Y plus drei z. Er geht zu einem drei X minus drei y plus Z gleich minus eins. Wir haben dieses Gleichungssystem in einer früheren Vorlesung gelöst. , Ich möchte nur,dass du dich daran erinnerst, dass wir uns dieses Gleichungssystem angeschaut haben. Jetzt können wir dies wie folgt neu schreiben. Schauen Sie sich diesen Teil hier an. Dies können wir es als eine Spalte vorstellen. Okay, also lasst uns richtig, äh, X minus X drei X, okay. Sehen Sie sich jetzt die weißen Begriffe an. Das könnte eine Spalte sein. Das ist richtig. Warum? Auf mich minus drei. Warum jetzt? Sehen Sie sich die Z-Begriffe an. Das ist richtig, das ist eine Spalte. Okay. Und die Zahlen auf der rechten Seite, lassen Sie uns richtig, wie sie ihn nennen, Okay, jetzt führt. Faktorieren Sie diese x-Variable hier, also ziehen Sie das l Gleiche mit der y-Variable. Zieh das raus und schwindelig. Variabel Zieh das raus. Okay. Sehen Sie sich diese untere Gleichung hier an. So zu fragen, ob es eine Lösung für das System der Gleichungen gibt, sind Originalsystem hier oben. Das ist dasselbe wie zu fragen, ob wir 01 minus eins schreiben können. Dieser Spaltenvektor. Wenn wir das als lineare Kombination der Spaltenvektoren hier schreiben können. Okay, also wurde die Spalte zu Spaltenvektoren der Koeffizienten Matrix des ursprünglichen Gleichungssystems gebracht. Und wir haben es hier als lineare Kombination geschrieben, und X, y und Z,das sind die Gewichte. wir haben es hier als lineare Kombination geschrieben, und X, und X, y und Z, Okay. Und 01 minus eins. Das ist nur der Spaltenvektor von Konstanz, den wir auf der rechten Seite der ursprünglichen Gleichung haben. Definieren wir nun die Spanne. Die Spanne von einem Cent von Vektoren sind disessbare lineare Kombinationen dieser Vektoren. Daher wollen wir wissen, ob der Vektor 01 minus eins, den wir von diesem Vektor wissen wollen, in der Spanne liegt. Es liegt in der Spanne jener Säulenvektoren, die wir zuvor hatten. Okay, denken daran, gehen wir zurück, okay? Wir haben uns diesen Aufruf an Victor angesehen und wir sagten, dass eine Lösung für die ursprüngliche Gleichung zu finden , die so ist, wie fragen, Können wir Recht haben? Diese Spalte Vektor als lineare Kombination der Spalten dieser Koeffizienten Matrix hier oben . Damit das hier zwei Spalten sind. Die Spaltenvektoren. Und wir fragten Können wir diesen konstanten Vektor auf der rechten Seite als lineare Kombination der Spalten dieser ursprünglichen Koeffizienten Matrix für dieses Gleichungssystem richtig machen? Okay. Aber das ist nur die Frage, wie, ähm, ob dieser Spaltenvektor in der Spanne dieser Spaltenvektoren liegt, das ist nur per Definition von Spanne. Beachten Sie, dass die Vektorgleichung eine eineVektorgleichung, die wir früher nur neu geschrieben hatten hier. Okay, ich weiß, dass diese Vektorgleichung dies als Matrixgleichung wie diese geschrieben werden kann . Also nehmen wir die Spalten und wir bilden die Matrix mit diesen Spalten, und dann nehmen wir die Gewichte X, y und Z setzen sie hier als einen Spaltenvektor. Und auf der rechten Seite haben wir den konstanten Vektor. Okay, jetzt die linke Seite hier, ähm, ähm, wir wollen sehen, was passiert, wenn wir dieses l mit Matrixmultiplikation multiplizieren. Also die linke Seite. Wenn wir das multiplizieren, werden wir das bekommen und wir können dies als einige der Spalten neu schreiben. Und das ist gleich. Wenn wir die Variablen auswerten. Okay, jetzt ist das hier. Denken Sie daran, das ist nur die lineare Kombination der Spaltenvektoren. Und das ist das hier. Okay, wir zeigen, dass dieses Zeug hier genau das ist, was wir auf der linken Seite hier unten auf der Matrixgleichung haben. Also wirklich, diese Gleichung kann so mit einer Matrix umgeschrieben werden. Und das haben wir hier gezeigt. Okay, lassen Sie mich wiederholen, was hier vor sich geht. Unser ursprüngliches Gleichungssystem kann als Matrixgleichung umgeschrieben werden. A X Es geht zu sein, wo a die Koeffizienzmatrix ist, ihr Koeffizient, Matrix und x X ist die Spalte Vector Colin Vektor von Gewichten, die wie diese x, y und z aussah und diese Spalte Vector. Auf der rechten Seite ist unser Aufruf zum Vektor. Das ist unsere Kolumne. Vektor von Konstanz , der Null eins minus eins war 8. Lineare Unabhängigkeit: in diesem Vortrag möchte ich den Begriff der linearen Unabhängigkeit einführen. Lassen Sie V eins durch VK Vektoren in r n. Okay, RN ist nur der Duft von Vektoren, die n Einträge haben. Also da. Also jeder dieser Vektoren wollen wir VK sie sind sie werden Listen von n reellen Zahlen . Dann ist die Menge V eins zu V. K linear unabhängig, linear unabhängig Nur für den Fall, dass die Vektorgleichung, Siehe ein V eins plus Punkt i dy c k v k gleich Null Wenn diese Vektorgleichung auf Lee die triviale Lösung auf einem triviale Lösung ist, wo alle Konstanten Null sind Okay, so dass die einzige Konstanz C eins bis C k, die diese Vektorgleichung wahr machen, diejenigen sind, die überall Null waren. Also C eins c zwei c k. Sie sind alle Null. Das ist die triviale Lösung. Okay, ansonsten wird gesagt, dass das Set linear abhängig ist, linear abhängig. Okay, Also, wenn c eins bis c k, müssen sie nicht alle Null sein. Wenn wie einer von ihnen se ungleich Null war und dis-Gleichung immer noch wahr war, dann wollen wir den ursprünglichen Satz von Vektoren K sein. Sie werden gesagt, linear abhängig zu sein. Beachten Sie die Vektorgleichung. Siehe ein V eins plus Punkt, Punkt Punkt plus C K v k. Beachten Sie, dass diese Vektorgleichung als X gleich Null umgeschrieben werden kann. Wir sind ein A ist die Matrix mit der einen durch VK, wie rufen und ah wie die Spalten dieser Matrix. Also, wenn wir V eins zu V. K wie diese als Spalten setzen und die Matrix so bilden, dann ist das genau da und das X hören diesen Vektor, der unsere konstante C eins durch C k die Luft wie die Gewichte sein wird . Okay, also diese Vektorgleichung, sie kann als Matrixgleichung wie diese neu geschrieben werden, ein X entspricht 20 Okay, gibt es nur eine unveränderte native Art, es zu schreiben, aber sie sind die gleichen 9. Lineare Independence: Lasst uns ein Beispiel machen. Stellen Sie fest, ob die eingestellten V eins, V zwei und V drei linear unabhängig sind. Die erste Vektoransicht wird gegeben, da dieses Gespenst und V zwei hier gegeben ist, und wir haben die drei. Okay, also wollen wir wissen, ob dieser Satz von Vektoren linear unabhängig ist. Lassen Sie uns die Matrix für die Matrix bilden, die V eins, V zwei und V drei als Spalten hat. die Matrix für die Matrix bilden, die V eins, V zwei und V drei als Spalten hat Okay, also nehmen wir V eins und bilden die Spalte. Nehmen Sie V zwei für ihn. Die zweite Säule und der Sieg dafür dort Doppelpunkt. Und wir wollen wissen, was C eins C zwei und C drei sind. Dies ist unser, um aufrufender Vektor der Gewichte C eins, C zwei und C drei gesetzt, dass gleich Null der Nullvektor , der Nullen in jedem Eintrag hat. Jetzt wollen wir wissen, ob dieses System von Gleichungen Onley die triviale Lösung hat. Okay, lassen Sie uns die erweiterte Matrix bilden und dann versuchen wir, eine Reihe von Roe-Operationen auf dieser erweiterten Matrix durchzuführen, um für die Lösung zu verkaufen . Und wenn wir die triviale Lösung bekommen, dann wissen wir, dass dies die einzige Lösung wäre und daher der ursprüngliche Satz von Vektoren linear unabhängig wäre . Wenn wir herausfinden, dass dieses Gleichungssystem tatsächlich nicht-triviale Lösungen hat, dann wissen wir, dass der ursprüngliche Satz von Vektoren linear abhängig ist. Okay, also schauen wir uns die ersten 2 Reihen an. Okay, lassen Sie uns die ersten 2 Zeilen hinzufügen. So sind eins plus R zwei. Das wird uns unsere neue Reihe geben. Zwei. Schau dir die zweite und dritte Rose an. Nehmen wir die zweite Reihe und subtrahieren die dritte Zeile und lassen Sie uns machen, dass unsere neue dritte Zeile Schauen Sie sich die zweite Zeile Hinweis. Seven ist ein führender Koeffizient. Lass uns das zu einem machen. Also teilen Sie sich durch sieben. Okay, sieh dir die zweite Reihe hier an. Beachten Sie, dass die Variable für C drei frei ist. Es könnte alles sein. Also lass uns mal sehen. Drei b t ah, ein freier Parameter. Nun, aus der zweiten Reihe, wissen wir, dass C zwei plus C drei Null ist. Also stecken T für Saatgut-Jury und Schwefel C zwei. Okay, wir bekommen minus t aus der ersten Reihe, wir bekommen C eins plus drei c zwei plus 13 c drei ecos ist Aargh Plug in minus T für C zwei stecken T für C drei und vereinfachen. Also für C eins und ich bekomme minus 10 t. Okay, also jetzt haben wir C eins, C zwei und C drei. Lassen Sie uns die Werte für jeden von diesen verbinden. Siehe Werte. Wir bekommen Minus 10. T minus T und T. Lassen Sie uns den Faktor 80. Ok, Sir. Sind eine Reihe von Lösungen. Sieht so aus. Es sind alle Vielfachen dieses Vektors minus 10 minus 11 Also gibt es hier eine Reihe von Lösungen, und, ähm, ähm, da sind sie nicht trivial, was bedeutet, dass sie nicht Null sind. Das sind sie nicht. Null-Vektor. Okay, jetzt, da das System eine nicht-triviale Lösung hat, ist der Satz V ein V zwei Sieg linear abhängig. Also, zum Beispiel, lassen Sie t lassen tv ein dann C eins minus 10. Si zwei ist minus eins. C drei ist eine, die von einstecken anti. Geht zu einem hier. Okay, also würde ich nur minus 10 minus 11 für meine C-Werte bekommen. Okay, das ist es, was ich hier habe. Denken Sie daran, dass diese Matrixgleichung der Vektorgleichung entspricht, die eine lineare Kombination der Spaltenvektoren dieser Matrix aufweist und C eins, C zwei und C drei wartet . Also würden wir C ein v eins plus c zwei v zwei, plus C drei Sieg ECOSOC Hero Plugging in die Werte für C Wir erhalten minus 10 V eins minus V zwei plus V Lokal ik o Caesar. So ist diese Vektorgleichung hier wahr und deshalb haben wir eine schlankere Abhängigkeit Beziehung zwischen den Vektoren v eins, V zwei und v drei. 10. Lineare Independence 2: Schauen wir uns ein zweites Beispiel an. Angenommen, Sie erhalten Vektoren V eins, V zwei und V drei und Sie möchten feststellen, ob diese Vektoren linear unabhängig sind. Lassen Sie uns die erweiterte Matrix mit den Vektoren als Spalten bilden und die rechte Seite wäre die Spalte der Nullen. Nun wollen wir versuchen, diese Matrix hier zu lösen, diese erweiterte Matrix. Okay, sieh dir Reihe eins und Reihe drei an. Wenn wir diese Rose hinzufügen würden, würden wir eine Null bekommen. Also lasst uns Reihe eins nehmen, plus Reihe drei. Machen Sie das zu unserer neuen Reihe drei. Schauen wir uns die zweite Zeile Notiz an. Der führende Koeffizient ist auch. Machen wir das zu einem. Also teilen Sie sich durch zwei in der Straße bis jetzt . Schau dir die zweite Reihe und den dritten Raum an. Lassen Sie uns diese zweite Reihe mit minus drei multiplizieren und dann zur dritten Zeile addieren. Okay, das wird uns minus drei plus Baum geben, der Null sechs plus acht ist. Das sind 14 Null plus 00 Also enden wir hier aus der dritten Reihe. Wir wissen 14. C drei ist Null. Also C 30 aus der zweiten Reihe. Wir wissen, C zwei minus zwei C drei ist Null, aber sehen 30 Also bekommen wir C auf Null. Aus der ersten Reihe erhalten wir C eins plus drei c zwei plus vier c drei ecos ist Eero. Aber wir wissen, um eine Null und C 30 So sehen Sie, dass man Null ist, da C eins und zu sehen, und C drei sind alle Null. Wir wissen, dass der ursprüngliche Vektorsatz V eins ist, V zwei und V drei linear unabhängig linear unabhängig sind. 11. Operations und Scalar Multiplikation korrigiert (Am): in dieser Vorlesung werden wir uns Matrix-Operationen ansehen. Aber zuerst wollen wir wissen, was eine Matrix ist und und von N Matrix ist ein Array, das so aussieht . Der erste Eintrag ist also ein 11 Der nächste danach ist ein sub 12 bis in die Reichweite. A sub one n In der zweiten Rolle haben wir die Begriffe ace bis zu einem Ass nach oben 22 Punkt einen Punkt Asep zu Ende, und wir gehen den ganzen Weg nach unten, bis wir ein sub m eins erreichen, gefolgt von einem sub m zwei bis in die Reichweite. Asep m n. So gibt es hier M Rose und n Spalten. Das ist es, was es macht. Und durch n Matrix können wir hinzufügen, um Strähnen zu bein, wenn sie die gleiche Größe haben. wir zum Beispiel an, Nehmenwir zum Beispiel an, wir hatten diese beiden Matrizen und wir wollen diese beiden Matrizen hinzufügen. Wir gehen einfach voran und schauen uns jeden der entsprechenden Einträge zwei plus Null an. Wir nur zu minus eins plus Null, was minus eins Null plus acht ist, und dann gehen wir zur nächsten Reihe über. Also eins plus acht ist neun eins plus zwei. Geschichte, minus eins plus drei ist auch. Das Hinzufügen von zwei Matrizen ist also ziemlich unkompliziert. Jetzt können wir auch eine Matrix mit Scaler multiplizieren. Also lassen Sie uns ein Beispiel dafür machen, dass, sagen wir, der Scaler drei war. Und sagen wir, die Matrix A wird dadurch gegeben. Okay, sehen wir uns die Zeit A an, die das Dreifache der Matrix A und die Art und Weise, wie wir einen Scaler-Zeh multiplizieren. Eine Matrix besteht darin, diesen Scaler zu nehmen und jeden Eintrag in der Matrix mit dieser Zahl zu multiplizieren , also dreimal minus eins gehört mir. Die Geschichte. Drei Mal zwei ist sechs, drei Mal vier ist 12 dreimal 00 und drei Mal. Eins ist drei und drei Mal eins ist drei. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. - Okay , also lasst uns multiplizieren. Sehen Sie mal A. Also das ist negativ. Zweimal diese Matrix, wir gehen voran und multiplizieren die negativen zwei in jeden Eintrag drinnen, und das ist, was wir bekommen. Wir können Subtraktion von zwei Matrizen definieren, ein Minus Bi. Wir können das als Pluspunkt definieren. Negativ einmal sein, zum Beispiel, Lassen Sie uns sehen, wird durch diese gegeben und sein ist dies. Nehmen wir an, wir wollen ein Minus-Bi finden. Nun, das ist nur ein Pluspunkt. Negativ einmal in Ordnung sein, also lasst uns hier mit negativem multiplizieren. Und jetzt fügen wir einfach 12. Matrix-Operationen Multiplikation: Wir können auch zwei Matrizen A und B multiplizieren Solange die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B. Lassen Sie uns einen Blick auf ein Beispiel werfen. Nehmen wir an, ist eine zwei mal drei Matrix. Nehmen wir an, B ist eine Drei-mal Zwei-Matrix. Lassen Sie uns nun ein Mal B multiplizieren . Dies wird uns eine zwei mal zwei Matrix bemerken, dass die Anzahl der Spalten für A drei ist. Und das stimmt mit der Anzahl der Zeilen von be überein. Und das brauchen wir, weil wir jeden Eintrag mit seinem entsprechenden Eintrag hier multiplizieren werden. Also stellt man sich mit 13 Zeilen mit einem minus eins auf, die sich mit minus eins auseinandersetzt. Okay, also multiplizieren wir die entsprechenden Einträge und addieren sie. Also bekommen wir eins plus drei plus minus ein Mal minus eins, was eins ist. Also, das wird fünf sein. Okay, jetzt, bleibe bei dieser, ähm, ersten Reihe, gehe in die zweite Spalte und multipliziere jeden entsprechenden Eintrag. Wir bekommen Null plus Null minus eins. Okay, jetzt gehen wir zur zweiten Reihe hier und benutzen die erste Spalte und seien OK, multiplizieren Sie das. Wir erhalten Null mal eins, was Null plus zwei minus zwei ist, was eine Null ergibt. Okay, jetzt, für diesen letzten Eintrag hier verwenden wir die zweite Zeile und wir gehen weiter zur zweiten Spalte von B , also wird das eine Null plus Null plus zwei geben. Das ist also unser Ergebnis der Multiplikation ein mal B. Nun was, wenn wir einen Matric sehen, das heißt, drei zu kaufen. Dann können wir uns nicht vermehren. Wir können ein nicht multiplizieren und sehen. Denken Sie daran, ein war diese Matrix und C ist dies. Sehen Sie sich die Anzahl der Spalten für eine, die drei ist. Dann schauen Sie sich die Anzahl der Zeilen für C an, die zu ist, und sie stimmen nicht überein, so dass wir sie nicht multiplizieren können. Okay, diese Matrix a ist zu kaufen drei sehen, ist zu von drei als auch. Und da drei nicht mit zwei übereinstimmen, können wir diese beiden Matrizen nicht multiplizieren. Wenn die Anzahl der Zeilen die gleiche wie die Anzahl der Spalten ist, dann wird die Matrix eine quadratische Matrix genannt und wir können zwei quadratische Matrizen in beliebiger Reihenfolge multiplizieren . Lasst uns ein Beispiel machen. Also nehmen wir an, wir hatten eine gegebene als diese Matrix hier. Sagen wir, B war das. Dann können wir ein Mal B multiplizieren. Okay, also haben wir hier zwei Spalten, die wir aufsteigen müssen. Also passen sie zusammen. Multiplizieren Sie nun die entsprechenden Einträge. Wir erhalten sechs plus Null, das ist sechs minus zwei plus Null drei minus vier minus eins plus Null. Also kriegen wir das. Lassen Sie uns versuchen, B mal A im Fluss zu multiplizieren. Umgekehrte Reihenfolge. Also, hier geht's. Es wird mit einem Okay multipliziert, also ist das sechs minus eins, das ist fünf Null plus zwei vier plus Null Null plus Null plus Null Null Null plus Null Null Null Null Null Null. OK, beachten Sie, dass eine Times B nicht das gleiche ist wie B mal A Dort. Wir bekommen zwei verschiedene Ergebnisse, wenn wir in umgekehrter Reihenfolge multiplizieren. Okay, Beachten Sie also, dass ein B nicht gleich a ist und dies im Allgemeinen wahr ist. Im Allgemeinen ist die Matrixmultiplikation keine Gemeinschaft 13. Kommutativität, Assoziation und Distributivity: in diesem Abschnitt werden wir auf Eigenschaften von Matrix-Addition und Scaler zu suchen. Multiplikation. Die ersten 2 Eigenschaften, die wir auf unsere kommunikative ITI und Assoziative Matrix Addition betrachten werden, ist kommunikativ und assoziativ für das Gemeinschaftseigentum. Wir schreiben es so. A plus B entspricht zwei B plus A. Also die Konkurrenzeigenschaft für Addition sagt nur, dass die Bestellung keine Rolle spielt. Sie können es einfach in einer beliebigen Reihenfolge hinzufügen. Assoziativität geht so. A plus B plus C ist das gleiche, wird zuerst hinzugefügt und dann C hinzugefügt, lassen Sie uns einige Beispiele machen. Nehmen wir an, a war diese Matrix und B ist diese Matrix und C wird durch diese gegeben. Okay, äh, lasst uns ein Plus B Okay, also fügen wir dir die hinzu. Okay, also lassen Sie uns einfach voran und fügen Sie jeden entsprechenden Eintrag hinzu. Alles klar, das ist ein Plus B. Fügen wir sie in umgekehrter Reihenfolge hinzu, also B plus ein Okay, gehen wir weiter und fügen die entsprechenden Einträge hinzu, und wir bekommen das und bemerken, dass es das gleiche wie ein Plus B Okay, also, ähm, Addition für Matrizen ist Community. Lassen Sie uns ein Beispiel für Assoziation machen. Lassen Sie uns ein Plus B plus c. Denken Sie daran, was gesehen wurde, waren OK, lasst uns ein neu schreiben und das Zeug in den Klammern hinzufügen. Also kriegen wir einen hier. Acht. Also, das ist unsere neue Matrix hier. Jetzt gehen wir voran und fügen einfach hinzu. Okay, also das haben wir dafür. Nun lasst uns zuerst ein Plus B machen und dann hinzufügen, Siehe, mal sehen, ob wir das Gleiche bekommen. Okay, also ein Plus B plus C. Okay, also fügen wir diese beiden Matrizen in die Klammern. Fügen Sie nun die beiden Matrizen hinzu, die wir hier bekommen und bemerken Sie. Es ist das gleiche wie das, was wir früher für ein Plus B plus c. Okay, so Addition ist auch assoziativ für maitresse. Leichtigkeit. Schauen wir uns eine andere Eigenschaft an. Lasst uns C und D B Skala er. Dann haben wir diese Eigenschaft CD mal A ist die gleiche wie C Times de mal a, zum Beispiel, ein CB zwei und D B minus eins. Lassen Sie eine diese Matrix sein. Dann C D ist negativ zwei und C d A. wird minus zwei Mal a und wir bekommen dies. Das haben wir hier auf der linken Seite. Lassen Sie uns die rechte Seite überprüfen. Also siehe D a, das ist zu minus ein Mal ein Okay, also das ist zwei Mal diese Matrix. Multiplizieren Sie es durch die beiden, und wir bekommen diese Benachrichtigung. Es ist das gleiche wie das, was wir früher hier hatten. Also können Sie, ähm, gibt es die Matrix A mit C D multiplizieren oder Sie können zuerst D tun und dann sehen, das ist, was diese Eigenschaft sagt. Als nächstes haben wir die Verteilungseigenschaften verteilt. Vitti Jetzt geht eine Eigenschaft so. Sehen Sie mal ein Plus B ist die gleiche SC mal ein plus c mal eine andere Verteilungseigenschaft sagt Ihnen, dass c plus d mal a C a plus de a ist Lassen Sie uns ein Beispiel machen. Also für die 1. 1 erinnern Sie sich, dass sie auch war und hey, war das und B war das. Okay, sieh mal, Zeit ist ein Plus B, das zwei Mal diese Matrix ist. Plus das, und das ist gleich dem zweifachen dieser Matrix und wir bekommen das. Lassen Sie uns ein Plus C B Motoröl mit den beidensehen Motoröl mit den beiden und fügen Sie hinzu, also erhalten wir die gleiche Antwort wie wir früher 14. Identität, Additive Inversen, multiplikative Assoziation und Distributivity: Es gibt eine additive Identität für Matrizen, und die additive Identität ist die Matrix mit Nullen überall. Es sieht also so aus für eine Zwei-mal Zwei-Matrix. Wenn wir die Null-Matrix als kalt zu einer Matrix hinzufügen, sagen wir, dies war die Matrix. Dann bekommen wir einfach die gleiche Matrix zurück. Okay, also ist es, als würde man Null zu, ah, Zahlenadditiv hinzufügen ah, . Inverse ist für Matrizen vorhanden und das additive umgekehrt in Vers von a ist negativ. A. Also lassen Sie uns sagen, a war dies. Wenn wir das Negativ hinzufügen, dann bekommen wir das. Und wenn Sie alle entsprechenden Einträge hinzufügen, erhalten wir überall Nullen. Okay, also haben wir die additive Inverse einer Matrix. A ist nur negativ A Wir werden die Null-Matrix bekommen. Wir haben einige weitere Eigenschaften. Assoziative und Verteilungsfähigkeit für die Matrixmultiplikation. Okay, also die Assoziativitätseigenschaft geht wie diese acht Mal BC ist die gleiche wie eine B-Zeit. Siehe Verteilungsfähigkeit. Wir haben mal B plus c. Nun, die Hilfe verteilt, also bekommen wir ein B plus c. Wir haben auch Verteilungsfähigkeit auf der rechten Seite. Nehmen wir also an, wir hatten ein Plus B Zeit zu sehen, als dieser See auf jeden Begriff in den Klammern verteilt , also erhalten wir ein C plus B C. Wir haben auch diese Eigenschaft, wo, wenn wir einen Skalierer haben, siehe, dann siehe mal ein B ist das gleiche wie Sehen Sie a a Times B, und das ist das gleiche wie ein mal C B. Okay, also das bedeutet, wir könnten das hier draußen sehen und das hier wird das gleiche wie das hier sein . Es ist ein Ziff, den wir rausziehen, um zu sehen. Lassen Sie uns ein paar Beispiele machen. Hier ist ein Beispiel für Assoziation, also lassen Sie uns ein B mal c. Okay, lassen Sie uns die beiden Matrizen innerhalb der Klammern multiplizieren. Okay, also das sind zwei eins. Jetzt multiplizieren Sie das l und Sie sollten das bekommen. Nun lasst uns mal B C machen und sehen, ob wir das gleiche Ergebnis bekommen. Okay, multiplizieren Sie diese beiden Matrizen in den Klammern. Sie sollten dies erhalten und jetzt diese beiden Matrizen multiplizieren und Sie erhalten das gleiche Ergebnis. Dies demonstriert also die Assoziativitätseigenschaft. - Okay , lass uns das versuchen. Sehen wir mal ein B , also das ist dreimal ein B. Multiplizieren Sie die drei zu jedem Term. Lassen Sie uns überprüfen, was C A Times B in Ordnung ist, das ist dreimal pro Mal B. Okay, das ist also das. Ein mal B. OK, beachten Sie, dass das hier das gleiche ist wie dieses Ergebnis. Also sehen Sie, ein mal B ist das gleiche A c mal a b und lassen Sie uns eine Zeit überprüfen CB Lassen Sie uns das multiplizieren und wir erhalten das gleiche Ergebnis. Wir haben auch eine Multiplikation von Identitätselement für Matrizen und wir nennen es I Es hat diejenigen entlang der Diagonale und Nullen überall sonst. Dies wird also das Identitätselement für zwei durch zwei Matrix sein. Er ist, wenn du multiplizierst, ich kaufe jede Matrix A, dann gibt es dir nur die gleiche Matrix zurück. Lassen Sie uns das für ein Ok versuchen. Jetzt multiplizieren Sie diese beiden heraus wir erhalten eine Null Null minus eins. OK, beachten Sie, dies ist das gleiche wie ein. ähnlich, wenn Sie multiplizieren mit, Ich auf der rechten Seite, Sie werden einfach wieder ein. Ok? Also multiplizieren Sie das sonst und Sie bekommen einfach wieder ein Okay, also ich diese Matrix, ich es ist wie eine. Wenn du etwas mit eins multiplizierst, bekommst du einfach zurück, was auch immer das Ding ist. 15. Überziehen einer Matrix: In diesem Vortrag werden wir etwas über die Transponierung der Matrix lernen. Die Transponierung der Matrix ist die Matrix, die Sie erhalten, wenn Sie die Spalten und Zeilen der Matrix ausgetauscht haben. Also, zum Beispiel, sagen wir, a war diese Matrix. Dann ist die Transponierung so geschrieben mit einem T Das ist die Matrix, die Sie erhalten, indem Sie die erste Zeile nehmen, die 10 ist, dass die erste Spalte und nehmen die zweite Zeile und machen, dass die zweite Spalte. Okay, also tauschen Sie nur die Zeilen und Spalten aus. Das ist die Transponierung der Matrix. A. Lassen Sie uns ein anderes Beispiel machen. Nehmen wir an, B ist unsere Matrix hier als die Transponierung von B. Es wird das sein. Wir nehmen die erste Zeile von B. Machen Sie, dass zwei Spalten Blick auf die zweite Zeile, machen Sie, dass die zweite Spalte und schließlich aussehen 1/3 Zeile. Machen Sie das zur Schmutzsäule. Jetzt befriedigt der Transponierte eine Reihe von Eigenschaften, - so geht der 1. 1 so. Die Transponierung der Transponierung gibt nur die ursprüngliche Matrix zurück. Wenn Sie die Summe von zwei Matrizen nehmen und Sie die Transponierung nehmen, ist das wie Hinzufügen der Transponationen von jedem. Wenn du einen Scaler nimmst. Sehen und multiplizieren mit a und Sie nehmen die Transponierung. Das ist wie, Siehst du, Zeit ist eine Transponierung und wenn wir A und B multiplizieren, dann nehmen wir die Transponierung, die wir transponiert werden . Okay, also kehrt es die Reihenfolge um, aber legt ein t über jeder Matrix. Sehen wir uns ein Beispiel an. Lassen Sie ein dies sein und lassen Sie BB diese Matrix multiplizieren und sein , und Sie sollten dies bekommen. Nehmen wir die Transponierung eines B. Nun, wir haben bereits ein hier sein. Lassen Sie uns die Zeilen und Spalten austauschen. Mal sehen, ob wir das Gleiche mit Transponieren eine Transponierung bekommen. Okay, lassen Sie sich umsetzen. Ist, ähm, mal sehen. Das ist eine Transponierung. Multiplizieren Sie das hier. Okay, und das solltest du bekommen. Es ist das Gleiche wie das, was wir hier haben. 16. Inverses Matrix: in diesem Abschnitt werden wir uns die Umkehrung einer Matrix ansehen, die wir erforscht haben. Addition, Scaler, Multiplikation, Subtraktion und Matrixmultiplikation für Matrizen. Wir haben gesehen, dass A Matrix immer ein Additiv hat. Umgekehrt. Wir fragen uns vielleicht, ob die Matrix eine Vielzahl von umgekehrten die Umkehrung einer Matrix hat. A. Ist eine Matrix B so, dass, wenn Sie a auf der linken und auf der rechten Seite mit der Matrix B multiplizieren , erhalten Sie die Identitätsmatrix, so dass es so aussieht. Okay, wenn also gegeben wird und wir wissen wollen, ob A eine Umkehrung hat, sagen wir, es gibt eine andere Matrix B, so dass, wenn Sie sich links und rechts so multiplizieren , Sie die Identität und die Umkehrung eines The Inverse ist so bezeichnet, ein kleines Minuszeichen hier in Matrix-Algebra. Es gibt keine Teilung, aber das Analogon der Teilung ist die umgekehrte Matrix. Lasst uns ein Beispiel machen. Also sagen wir, a ist als diese Matrix gegeben. Dann können wir die Umkehrung eines Eigentlich finden, gibt es eine Formel dafür für zwei mal zwei Matrizen. Also sagen wir, a war so, dann wird die Umkehrung durch diese Formel 1 über ein D minus B c mal die Matrix gegeben, die Sie hier bekommen. Wenn Sie den Andy getauscht und dann ein Minuszeichen auf N c. anhängen Okay, so ist dies die Formel für die Umkehrung von a Dies gilt nur für zwei mal zwei Matrizen. Oh, okay, lassen Sie uns das hier auf diese Matrix anwenden. Nehmen Sie also 1/80 minus b C mal die Matrix, die Sie erhalten, indem Sie die zwei und vier tauschen und ein Minuszeichen hier und hier anbringen. Okay, also lasst uns diese Verteilung vereinfachen, die über acht gewonnen hat. Also kriegen wir das. Okay, das ist also die Umkehrung eines Mal sehen, ob dir das tatsächlich die Identitätsmatrix gibt, wenn du mit einem Okay multiplizierst, also wird achtmal eine Umkehrung das sein und das multiplizieren. Du bekommst eins, bekommst Null hier. Negativ 1/4 plus der vierten, die Null und eins ist. Okay, also bekommen wir hier die Identitätsmatrix auf der rechten Seite. Lassen Sie uns ein mit der Umkehrung auf der linken Seite multiplizieren, und wir sollten auch die Identitätsmatrix erhalten. Okay, also das ist 10 1/2 minus die Hälfte, das ist Null und ein Jahr 17. Gauss Jordan Elimination: , um die Umkehrung einer Matrix zu finden. Wir können einen Prozess namens KAOS Jordan Elimination Gals, Jordanien Beseitigung verwenden, um Gals Jorden Elimination zu tun. Wir nehmen die Matrix ein und ein Join der Identitätsmatrix. Okay, also und schließen Sie sich der Identitätsmatrix an. Okay, das ist also das Erste. Führen Sie dann Zeilenoperationen auf der resultierenden Matrix aus, bis wir die Identitätsmatrix in I transformieren . Okay, also führen Sie Zeilenoperationen durch, bis wir a in I transformieren . Also sagen wir, a wurde so gegeben. Wir nehmen ein und ein Join der Identitätsmatrix einfach so. Dann fangen wir an, Zeilenoperationen auf dieser Matrix auszuführen, bis wir diese linke Seite wie die rechte Seite sehen. Okay, also nehmen wir 14 Mal die erste Reihe. Nun, holen Sie sich das. Nun, lasst uns Zeile 1 nehmen, die zu geschrieben wurde. Okay, also bekommen wir Null auf 1/4 und eins. Jetzt haben wir zwei hier unten. Machen wir das zu einem. Sue, nimm 1/2 der Straße nach Ok, also das wird uns 1/8 und eins geben, huh? Okay, jetzt, die resultierende Matrix rechts hier ist eine Inverse. Das Umgekehrte ist also das. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. Nehmen wir an, a ist gleich diesem. Okay, wir bilden die Matrix mit einer links und der Identitätsmatrix auf der rechten Seite. Okay, so wie das. Und fangen Sie an, Zeilenoperationen auf der linken Seite hier auszuführen, oder besser gesagt, auf der ganzen Sache. Aber wir wollen, dass die linke Seite wie die Identität aussieht. Lassen Sie uns negativ machen, um eine plus Straße zu rollen, um unsere neue Straße zu Okay zu bekommen, also wird das eine Null plus zwei bekommen. Dies wird zwei plus eins ist drei minus zwei plus Null plus eins und Null Null und Null sein. Jetzt sehen wir mal. Machen wir diese drei hier zu einer Eins. Also lasst uns 1/3 Reihe drei machen. Machen Sie das zur neuen Regel drei. Ok? - Und das ist es, was wir bekommen. Dasselbe mit dem Weg, um es zu schaffen. Lasst uns das hier machen. Also nehmen Sie 1/2 der Straße, um die neue Straße zu machen, und das ist, was wir hier bekommen. Versuchen wir nun, dies 3/2 zu einer Null zu machen. Machen wir minus 3/2 Reihe drei auf der Straße, um uns unseren neuen Weg nach Ok zu geben, Sue, Das wird uns das geben. Ok. Also minus 1/2 hier. In Ordnung. Sieh dir das an. Dies fängt an, wie die Identitätsmatrix zu sehen. Okay, wir brauchen nur diesen letzten Teil, um Null zu sein. Das Negative hier. Okay, machen wir Zeile eins, plus Reihe drei. Machen Sie das zur neuen Zeile eins. Okay, also füge einfach die erste und dritte Rose hinzu, Junge. Null hier. 10 1/3. Und das ist es, was wir bekommen. Okay, da wir die Identitätsmatrix hier links haben, ist das, was wir auf der rechten Seite übrig sind, die Umkehrung. So wird die Umkehrung von a durch diese Matrix auf der rechten Seite gegeben. 18. Zusätzliches Beispiel: wenn wir die Matrix auf der linken Seite nicht in die Identitätsmatrix verwandeln können, als a nicht in vertebralen ist . Sehen wir uns ein Beispiel dafür an. Nehmen wir an, ein wurde von dieser Matrix gegeben. Lassen Sie uns die erweiterte Matrix mit einer auf der linken Seite und der Identitätsmatrix auf der rechten Seite bilden . Ok. Und fangen wir an, Zeilenoperationen zu machen. Lassen Sie uns zwei Mal schreiben zwei plus Reihe eins. Ok, auch. Reihe zwei, plus Reihe eins. Okay, Sue, das wird hier eine Null geben. Zwei plus eins. Das sind drei zwei plus 46 12 Null. Sehen wir uns das auch hier in der ersten Reihe an. Lasst uns Daten eins machen. Also 1/2 Reihe eins. - Okay , schauen wir uns diese drei an. Hier, mach das zu einem. Bald. Nehmen Sie 1/3 Straße, um diese vier genau hier in der dritten Reihe zu sehen . Teilen wir uns durch vier auf. Okay, Gruppen. In Ordnung. Nehmen wir die Straße, um Rhodri zu subtrahieren. - Wir kriegen hier ein paar Nullen, okay? Und das ist es, was wir auf der rechten Seite bekommen. In Ordnung? Da wir hier eine Reihe von Nullen bekommen, können wir die linke Seite nicht in die Identitätsmatrix umwandeln. Ok? Also können wir eine nicht in I verwandeln Okay, also ist nicht in Wirbel. Mit anderen Worten, A hat keine umgekehrte 19. Determinant von a 2 von 2 Matrix: in diesem Abschnitt werden wir uns die Determinanten ansehen. Nehmen wir an, wir hatten eine zwei mal zwei Matrix A. , die so aussieht. Die Determinante von a ist definiert als ein D minus b c. Okay, also ist es acht mal D minus B. C. Und die Determinante wird so bezeichnet. Und auch war es manchmal in so einem Ende zu vertikalen Balken. Lassen Sie uns einige Beispiele machen. Angenommen, a ist diese Matrix. Dann lassen Sie uns die Determinante eines Also das ist mal D minus b mal C Also das ist acht plus drei, und das ist 11. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. Sebi ist diese Matrix. Dann ist die Determinante von B achtmal D minus B-Zeit. Seht ihr? Also das sind zwei minus sechs, was minus für 20. Cofactor: um die Determinante einer drei mal drei Matrix oder einer größeren Matrix zu finden, müssen wir die sogenannte Co-Faktor-Expansion verwenden. Werfen wir einen Blick auf ein Beispiel. Also sagen wir, a wurde von dieser Matrix gegeben dann zuerst, wir sollten Plus- und Minuszeichen zu jeder Position in der Matrix zuweisen. Also beginnend mit der ersten Position, machen Sie es ein Plus und starten Sie dann abwechselnd plus minus plus gehen nach unten. Außerdem möchten Sie sich abwechseln, also wird dies plus minus plus übergehen. Wir wollen abwechselnd. So geht minus, plus minus plus minus plus plus plus. Okay, also haben wir diese Plus- und Minuszeichen für jede Position in der Matrix. Wir wollen entlang der ersten Spalte erweitern, und was wir tun, ist, dass wir den ersten Eintrag nehmen. Aber hier haben wir ein Pluszeichen, also lassen wir es einfach als eins. Multiplizieren Sie das mit der Determinante der Matrix, die Sie erhalten, wenn Sie die erste Spalte und erste Zeile löschen . Okay, stellen Sie sich vor, dass die erste Zeile und die erste Spalte gelöscht werden. Also, was Sie am Ende haben, ist nur diese Matrix hier. 1304 Okay, also lasst uns richtig das hier 1304 Okay. Und jetzt gehen wir zum zweiten Element Null über. Also fügen wir zu diesem Nullmal hinzu. Nun, das Vorzeichen für diese Position ist negativ. Also multiplizieren wir mit negativ ein Mal die Determinante der Matrix, die Sie erhalten, wenn Sie die erste Zeile und die zweite Spalte löschen. Das würde dir also nur 23 minus 14 23 minus 14 geben Okay, wir gehen zum letzten Begriff in dieser Reihe über, was negativ ist. Wir haben ein Pluszeichen in dieser Position. Also lassen wir es einfach so, wie nicht und multiplizieren mit der Determinante der Matrix, die Sie erhalten, wenn Sie diese erste Zeile und letzte Spalte löschen. So erhalten Sie ein minus 10 21 minus eine Null. Nein, diese Determinante hier. Das ist beschriftet und 11 Diese Bestimmung hier ist m 12 gekennzeichnet und diese Determinante ist m 13 gekennzeichnet und diese Determinanten ihre Kälte Moll. So m m I J. Das ist der Minor eines I j der I j achte Eintrag. Okay, und jetzt, wenn du negatives an die Macht nimmst, ich plus j Okay, dieser Teil hier. Das sind die , Plus- und Minuszeichen, die wir vorhin gesehen haben. Wenn Sie den Minor mit diesem Plus- oder Minuszeichen multiplizieren. Okay, das nennt man hier einen Co-Faktor-Hinweis. Wir nahmen die Co-Faktoren und wir multiplizierten jeden Co-Faktor mit dem Eintrag A i J. Okay, also haben wir deshalb einen hier multipliziert mit m 11 plus Null mal den Co-Faktor hier. Negativ einmal, M 12 und negativ einmal, M 13 Okay, Also die Determinante von a ist nur die einige der Co-Faktoren, um, um, multipliziert mit den Einträgen A i J als auch. Erweitern Sie sich im ersten Raum. Sie können entlang einer beliebigen Zeile erweitern, und das Ergebnis ist das gleiche. Okay, lassen Sie uns vereinfachen, was wir einmal die Determinante dieser zwei mal zwei, was für plus Null mal ist. Alles ist Null minus der Determinante dieser beiden durch zwei Matrix, die Null minus eins ist, was eins ist. Also bekommen wir vier minus eins, das ist drei. Okay, also ist die Determinante von a drei 21. Zusätzliche Beispiele für den Cofactor: Lassen Sie uns entlang der zweiten Reihe erweitern und sehen, ob wir die gleiche Antwort für die Determinante eines Okay bekommen , also erinnern Sie sich an die Zeichen. Plus minus plus minus. Plus. Okay, also schauen wir uns das an. Zweite Reihe hier. Nehmen Sie zwei Mal. Negativ, weil das Zeichen rechts dort negativ ist. Okay, nehmen Sie die Determinante der Matrix, die Sie erhalten, wenn Sie die erste Spalte und die zweite Zeile löschen . Okay, gehen wir zum nächsten Begriff, der eins ist. Das Zeichen dort ist Plus, so dass wir dort nichts mit irgendetwas multiplizieren müssen. Löschen Sie die zweite Spalte und die zweite Zeile, wir erhalten eins minus eins minus 14 Gehen Sie zum nächsten Begriff. Drei. Wir müssen mit Negativ multiplizieren und dann die dritte Spalte und die zweite Zeile löschen. Also bekommen wir 10 minus 10 Nun, lassen Sie uns die Determinante dieser Matrix Null vier minus eins vereinfachen, die drei ist und das Null ist. Okay, also bekommen wir Null plus drei plus Null. Welche Geschichte? Das ist das gleiche Ergebnis, das wir früher hatten, als wir fanden die Determinante für eine Wir können auch entlang jeder Spalte erweitern und das Ergebnis ist das gleiche. Lassen Sie uns also entlang der dritten Spalte erweitern. Das war unsere Matrix A. Okay, lassen Sie uns entlang der dritten Spalte erweitern. Also werden wir anfangen, sich auf diese Weise zu bewegen. Okay, also minus eins. Aber erinnere dich an die Zeichen. Also plus minus, plus minus, plus minus, plus minus, plus minus. Plus. Okay, Okay, das Seufzen für diese Position ist Plus, also müssen wir nichts tun. Nehmen Sie die erste Zeile und die dritte Spalte. Löschen Sie diese, und wir sollten diese Matrix bekommen. Okay, nach unten ziehen. Wir werden dreimal negativ. Einmal ging die Determinante der Matrix, wenn Ah, löschen Sie die zweite Zeile. Ihre Kolumne. Ok. Und schließlich, die vier Mal plus eins, es tut nichts. Und löschen Sie das. Ihre Kolumne und die letzte Reihe. So bekommen wir 10 zu 1 10 zu 1. Ok. jetzt Lassen Sie uns dasjetztvereinfachen. Negativ einmal Null minus eins, das plus eins ist. Okay, also bekommen wir minus eins plus vier, was eine Story-Notiz ist. Wir erhalten das gleiche Ergebnis wie die früheren Co-Faktor-Erweiterungen. 22. Bestimmte eines Produkts von Matrizen und eines Scalar Multiple einer Matrix: Schauen wir uns die Eigenschaften von Determinanten an. Die erste Eigenschaft geht so. Wenn eine NB sind und durch n Matrizen, dann ist die Bestimmung eines mal B die gleiche wie die Determinante einer mal die Determinante von B. Zum Beispiel, sagen wir, a wurde durch diese zwei durch zwei Matrix gegeben und B wird durch diese gegeben. Dann Determinante eines Das ist zu minus Null Determinante von B ist sechs minus 20, was minus 14 ist . Und wenn wir die Produkt-Determinante einer mal Determinante von B nehmen, bekommen wir zwei Mal minus 14, was negativ ist. 28. Nehmen wir das Produkt ein B und dann lassen Sie uns die Determinante davon finden und sehen, ob wir das gleiche Ergebnis erhalten . Okay, multiplizieren wir A und B also minus drei plus 10 sieben und minus vier plus 40 Okay, nehmen Sie die Determinante davon. Wir bekommen Null minus 28. In Ordnung, also ist es das Gleiche. Die zweite Eigenschaft, die wir betrachten wollen, geht so. IFC ist ein Scaler und a ist eine n durch n Matrix. Dann ist die Determinante von C mal A C auf die Macht Endzeiten Determinante eines Lassen Sie uns ein Beispiel tun. Sagen wir, CIA's Acht und a ist diese Matrix. Siehst du, Time is a wird das sein. Okay, also Determinant von C mal A gut, das ist acht mal minus 32 plus 24 mal a. Und das stellt sich heraus, dass minus 2 56 plus 1 92 ist, was minus 64 ist. Und er geht zu zwei. Da wir über eine zwei durch zwei Matrix sprechen, so si zum Power-Ende wird acht Quadrat sein , das ist 64 Determinante eines Denken Sie daran, was ein war ein sieht so aus. Die Determinante ist also minus für plus drei, was minus eins ist. Hey, so sehen, bis zum Ende Determinante von a ist minus 64. Okay, das ist das gleiche Ergebnis, das wir früher hatten. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. Lass uns mal sehen. Unser Scaler ist drei und die Matrix A ist eine drei mal drei Matrix. Okay, lass uns sehen, Zeit ist ein Okay, nun, das ist nur ein mit drei verteilt überall und der Determinante von C A. Okay, schauen wir uns dieses Jahr an. Sehen Sie sich diese zweite Spalte hier an. Es ist ein Haufen Nullen hier. Es macht also Sinn, sich entlang dieser zweiten Spalte zu erweitern. Denken Sie daran, Co-Faktor-Erweiterung. Wenn wir entlang dieser Spalte erweitern, werden die ersten 2 Terme Null sein. OK, also wird dies Null mal negativ sein, einmal die Determinante dieser Matrix plus Null mal die Determinante davon plus 12 mal negativ einmal die Determinante davon. Ok, beachten Sie. Die ersten 2 Terme sind Null. Also bekommen wir nur minus 12 mal 27 plus 18 minus 12 mal 45 und das ist negativ. 5 40 Okay, jetzt lass mich ein hier umschreiben. Also die Determinante eines Wenn wir entlang dieser Sekunde erweitern, rufen Sie ihn, Wir bekommen vier Mal minus ein Mal. Ah, die Determinante davon. Also das ist Minus für drei plus zwei. Also minus 20 si zum Power-Ende ist drei auf die Macht drei, die 27 Fall ist. Also C zu den Endzeiten der Macht Determinante eines Das ist 27 mal negativ 20 was minus 5 40 ist Okay, das ist das gleiche Ergebnis, das wir früher haben 23. Determinanten und Invertibility: in dieser Vorlesung. Ich möchte über Determinanten und Invertierfähigkeit sprechen. Es gibt eine schöne Verbindung zwischen Determinanten und Konvertierbarkeit. , Eine Matrix, die sich in der Wirbelsäule befindet, hat eine Determinante ungleich Null. Außerdem, wenn eine Matrix eine nicht-Null-Determinante hat als ihre in vertebralen Okay, also lassen Sie mich schreiben, dass hier a in vertebralen ist. Mit anderen Worten, es hat eine umgekehrte, wenn und nur, wenn die Determinante von a ungleich Null ist. Okay, lassen Sie uns ein Beispiel machen. Bestimmen Sie, ob sich die Matrix in der Wirbelsäule befindet. Nehmen wir an, ein ist so gegeben. Okay, also lassen Sie uns die Bestimmung eines Lasst uns entlang der ersten Zeile so minus zwei Mal die Determinante dieser Matrix plus dreimal negativ ein Mal die Determinante dieser Matrix plus ein Mal die Determinante davon erweitern Determinante dieser Matrix plus dreimal negativ ein Mal die Determinante dieser . Okay, also Determinante hier ist vier minus fünf Determinante davon acht minus zwei Determinanten davon sind 20 minus vier. Also vereinfachend bekomme ich das, was Null ist. Und da die Determinante einer Null, wir wissen, dass a nicht in der vertikalen. Okay, lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. Nehmen wir an, a ist diese Matrix. In Ordnung, lassen Sie uns die Determinante für sie finden. Okay, schauen wir uns unsere Matrix an. Ein Hier. Hier gibt es eine Null. Also lasst uns entlang der ersten Spalte erweitern, Okay, Einmal die Determinante dieser Matrix plus Null mal was auch immer. Das ist uns egal. Also gehen wir zum dritten Eintrag hier über, plus einmal die Determinante dieser Matrix. Okay, also das ist, ähm, vier minus sechs, was negativ ist. Zwei plus minus zwei minus 18. Also, das sind minus 20. Also bekomme ich minus 22 und das ist nicht Null. Also ist a in vertebralen. Nun, wenn wir eine in Wirbelmatrix A haben wir die Determinante der Umkehrung mit der folgenden Formel begrenzt. Die Determinante der Umkehrung von a ist eins über die Determinante eines Okay, lassen Sie uns ein Beispiel machen. Nehmen wir an, eine Zaren-Matrix, die so gegeben wird. In Ordnung. Wir sahen, dass die Determinante negativ ist. 22. Also die Determinante der Umkehrung eines, das ist eins über negativ 22 24. Determinanten und Transposes: Die Determinante der transponierten Matrix ist die gleiche wie die Determinante der Matrix. Okay, also ist die Determinante der Transponierung von a die gleiche wie die Determinante von A Zum Beispiel, sagen wir, a ist diese Matrix, dann eine Transponierung ist dies. Wir haben gerade die Zeilen und Spalten die Determinante der Transponierung ausgetauscht. Lassen Sie uns versuchen, diesen Blick zu finden. Ähm, zweite Spalte. Lasst uns das weiter ausdehnen. Also kommen wir zu Zeiten. Nun, hier bekommen wir Plus Minus Plus. Also erinnere dich an die Zeichen. Es geht so. Plus minus, plus minus, plus minus, plus minus, plus minus. Plus. Also der erste Begriff, wir nur ignoriert, dass, weil es Null wir gehen auf zwei. Aber es hat ein Pluszeichen, also spielt es keine Rolle. Wir müssen es nur. Und dann streichen wir diese Spalte in der zweiten Reihe aus, also bekomme 1192 Okay, jetzt sieh dir das hier unten an. Wir addieren zwei Mal negativ eins wegen des Vorzeichens multipliziert mit der Determinante. Okay von 11 minus 13 Also das ist zwei Mal zwei minus neun, was negativ ist. Sieben minus zwei mal drei plus eins ist vier minus 14 minus acht. Das ist also negativ. 22. Erinnern Sie sich an eine frühere Vorlesung erinnern, dass die Determinante eines negativ war 22. Okay, also zu tun, um es zu transponieren, macht keinen Unterschied für das Bestimmte. 25. Vector: in diesem Abschnitt werden wir uns Vektorräume ansehen. Ein Vektorraum ist ein Satz v zusammen mit Addition und Scaler-Multiplikation, so dass die folgenden 10 Eigenschaften halten. Okay, lassen Sie u v und W Lyon V und lassen Sie uns sehen Andy echte Zahlen dann die erste Eigenschaft ist, dass wenn Sie nehmen Sie und Sie, Adam, Sie ein Element, das immer noch in V. Dies wird als Schließung unter Zugabe. Okay, Die zweite Eigenschaft ist, dass, wenn Sie Sie Neid hinzufügen, es ist das gleiche wie das Hinzufügen von V plus Sie und dies wird kommunikative Lage genannt. Kommunikationsfähigkeit unter Zugabe. Okay, Die dritte Eigenschaft sagt, dass Sie plus V plus w ist das gleiche wie U plus V plus w Das ist assoziative ität, assoziative ität unter Zusatz. OK, die vierte Eigenschaft ist, dass es einen Nullvektor gibt. Es gibt einen Nullvektor. Bezeichnen Sie es so, so dass Sie, wenn Sie hinzufügen, einfach zurückkommen. Bist du okay? Wenn Sie also Null zu einem Vektor hinzufügen, kommen Sie einfach zurück. Bist du okay? Also der Nullvektor, der die additive Identitätsadditive Identität genannt wird. Die fünfte Eigenschaft sagt, dass für jedes Element, das Sie beneiden, so dass jeder Vektor U und V. Es gibt ein additives Inverse. Haben Sie Minus Sie so bemerkt, dass Sie plus minus Sie gibt Ihnen Null. OK, minus Sie wird das Additiv Inverse genannt. Die Haltung in Vers Que die sechste Eigenschaft sagt, dass c mal Sie Neid liegt. Dies wird als Schließung unter Scaler Multiplikation Scaler bezeichnet. Multiplikation. Äh, ich setze ein dich ein, tut mir leid. Ich werde dir manchmal eine Messlatte geben, um zu wissen, dass du ein Vektor bist? Okay, jetzt, die siebte Eigenschaft sagt, wenn Sie c nehmen und mit U plus V multiplizieren, verteilt sich das Meer. So sehen wir uns plus C V. Das ist, ähm Verteilungsfähigkeit. Verteilungsfähigkeit. Die achte Eigenschaft sagt, wenn Sie c plus d mit dem Vektor multiplizieren, erhalten Sie auch Verteilungsfähigkeit. Sue Sehen Sie sich Plus, oder? Rufen wir diese Verteilungsfähigkeit nochmal an, okay? Die neunte Eigenschaft sagt, dass Sieh, time d'you ist das gleiche C d mal du, das assoziative ity genannt wird. Und schließlich, die 10. Eigenschaft. Wenn Sie den Scaler nehmen und mit dem Vektor multiplizieren, erhalten Sie nur zurück Sie, die die Scaler-Identität genannt wird. Ok, also hast du es. Sie haben alle diese Eigenschaften von 10 Eigenschaften eines Vektorraums, wenn ein Satz V diese 10 Eigenschaften erfüllt, als es ein Vektorraum ist. 26. Vector: in dieser Vorlesung. Wir werden uns ein Beispiel eines Vektors ansehen. Raum sind zwei ist ein Vektorraum sind in Ordnung, wir werden versuchen und beweisen, dass Sind, auch ein Vektorraum ist. Was Sie sein wollen Sie und V b V ein V zwei und w B W ein W zwei. Hey, lassen Sie das Vektoren in oder zwei jetzt Hinweis. U ein u zwei v eins, V zwei und w eins w zwei Diese alle liegen sind, so dass sie alle reellen Zahlen sind. Okay, also versuchen wir, jede der Vektorraumeigenschaften zu beweisen. Die 1. 1 ist Schließung. Also nehmen wir u plus v. Also das ist das. Plus V eins schlug dich. Okay, fügen wir diese beiden zusammen. So wird die erste Komponente Sie eins plus V eins. Die zweite Komponente ist ihr zwei plus V zwei. Okay, die Frage ist, liegt das in oder zwei? Nun, du eins und V eins. Das sind beide echte Zahlen. Wenn wir also zu reellen Zahlen hinzufügen, erhalten wir eine weitere reelle Zahl. Also du eins plus V eins liegt in unserem und gleich mit euch zwei plus V zwei. Okay, das ist durch die Schließung der reellen Zahlen. Okay, da jede Komponente hier eine reelle Zahl ist, liegt die ganze Sache in ein oder zwei. Okay, versuchen wir, die zweite Eigenschaft zu beweisen. U Plus V. Okay. Lässt Sie in ihren Komponentenformen beneiden. Okay, jetzt sieh dir das hier an. Wir können das widersprechen. So wird das V eins. Außerdem hast du das gewonnen. Außerdem können wir umdrehen. Und das ist, weil wir Gemeinschaft Vitti kommunikative ität unter der Hinzufügung der realen Zahlen haben. Okay, du hast gewonnen. Plus V eins. Das ist V Eins. Und du hast gewonnen. Ihr zwei plus V zwei ist das gleiche wie V zwei. Und du auch. Okay, das liegt daran, dass die reellen Zahlen eine Gemeinschaft von unter Zusatz sind. Und so haben wir diesen Schritt genau hier geschafft. Nun, das kann neu geschrieben werden V eins v zwei plus du willst, aber das ist nur und das bist nur du. Okay, so dass Sie plus v ist V plus Sie und wir haben jetzt die Konkurrenz für die dritte Eigenschaft assoziativ. Das ist die linke Seite neu zu schreiben. Okay, nein, fügen wir die beiden Begriffe in den Klammern hinzu. Nein, lasst uns und diese beiden Vektoren. Also das ist, was wir Gruppen, die ihr zwei plus V zwei plus W zwei bekommen. Okay, jetzt hier können wir das umschalten, als Sie eins plus V eins plus W eins. Dasselbe mit der zweiten Komponente. Und das ist durch Assoziativität der reellen Zahlen Assoziativ unter Addition. Okay, nein, lassen Sie uns das neu schreiben, als Sie eins plus V eins. Ihr zwei plus V zwei plus w eins w zwei und das ist gleich diesem. Okay, aber das sind nur Sie und das ist V. Und das ist nur... Okay, also haben wir Assoziationsfähigkeit gezeigt. Ok. Für Eigentum vier 00 ist die Haltung Identität. Danke. U plus Null ist gleich Ihnen. Möchten Sie plus 00, die Sie eins plus Null u zwei plus Null ist. Und das ist nur du auf YouTube, weil Null die additive Identität in unserem okay ist, also willst du eine reelle Zahl, und wenn wir Null hinzufügen, kommen wir einfach zurück. Du eins. Dasselbe für dich. Okay, jetzt, das bist nur du. Also bekommen wir u plus Null ist du Und wir wissen, dass der Nullvektor 00 Nein ist, für die fünfte Eigenschaft, minus du ist der Zusatz in Vers von dir. Okay, du plus minus dir. Das wird U eins u zwei plus negativ sein. Willst du negativ? Du auch. Ok. Minus Gebrauch. Nur so definiert, dass es so ist. Ok, wo? Jede Komponente hat ein negatives Vorzeichen. Jetzt fügen wir hinzu, aber Sie wollen minus Sie 10 und Sie zwei minus Sie 20 Das ist, weil negativ Sie ein das Additiv umgekehrt von Ihnen ist. Dies ist in unserem ähnlich für Sie auch ähnlich negativ. Auch Sie sind das Additiv in Versen von Ihnen. In unserem okay. Und das ist natürlich der Nullvektor. 27. Vector fortgesetzt: Okay, schauen wir uns das Eigentum an. Sechs Mal sehen, wenn du den Blick durch multiplizierst, damit wir sehen uns eins sehen. Und wir wollen wissen, ob das in unseren Gruppen liegt. Ok? Nein, dich zu sehen und dich auch zu sehen. Beide Lyon sind, weil wir Schließung unter Multiplikation in unserem okay haben , da C eine reelle Zahl ist und Sie eine reelle Zahl ist. Wenn wir multiplizieren, dann bekommen wir See you eine, die auch wirklich Zahl durch Schließung ist. In unserem ähnlich sehen Zeiten, Sie zu ist eine reelle Zahl durch Schließung der Multiplikation in unserem okay, schauen wir uns Immobilien sieben an. Sehen Sie die Zeit U plus V. Er geht, um Sie plus C v mit der linken Seite beginnen. Lassen Sie uns Sie in Komponentenform neu schreiben und gleich mit dem Jetzt fügen Sie die zwei Das Meer multipliziert sich durch jetzt das Meer direkt hier verteilt auf jeden Begriff innerhalb der Klammern. So bekommen wir sehen Sie ein plus c v eins sagen damit wir sehen uns zwei plus c V zwei. Okay, das ist wegen der Verteilungsfähigkeit. Okay, da C und U ein v man Sie beneiden Sie sind alle echte Zahlen. Wir haben Verteilungsfähigkeit in reale Zahlen. Und genau das haben wir hier angewendet. Okay, also können wir das hier neu schreiben, wie Sie ein Komma sehen. Wir sehen uns auch. Plus C V ein Lebenslauf zu Okay, jetzt, Blick auf diesen Teil genau hier. Ziehen Sie das c heraus. Auch hier. Ziehen Sie das c heraus. Das bist nur du. Und das ist einfach in Ordnung. So bekommen wir sehen Sie plus C v Eigenschaft acht c plus d mal Sie Wir wollen das überprüfen. Dies ist das gleiche a c u plus d Sie Hey, lassen Sie uns mit der linken Seite beginnen. Schreiben Sie Sie in Komponentenform um. Verteilen Sie diesen Scaler C plus d Jetzt verteilen. Dies ist durch Verteilbarkeit in unserem, da dies alle reellen Zahlen hier sind. Willst du, dass du schwächst? Verteilen. Okay, schreib das so um. Ziehen Sie das c heraus und zog den Deal. Das sind nur Sie, und das sind Sie. Okay, also kriegen wir dich, plus d dich. Es ist bewiesen Eigentum neun. Siehst du, die Zeit ist gleich zwei c d mal. Alles in Ordnung? Fangen wir mit der linken Seite an. Schreiben Sie in Komponentenform um, dass d in diesen Vektor verteilt wird. Jetzt verteilen Sie das Meer im Inneren. Ok, schau hier rein. Wir können die Klammern von hier verschieben, um d so zu sehen. Okay, das ist durch Assoziation. Dies ist durch assoziative iti und in unserer ok Mitteilung. Wir haben hier eine CD in einer CD. Zieh das raus. Aber das hier genau, was du willst. Das bist nur du. Okay, also bekommen wir CD-mal. Sie schließlich die 10. Eigenschaft, nehmen Sie ein Mal Sie. Das ist ein Mal dieser Vektor. Multiplizieren Sie die eine durch, aber ein Mal, das Sie wollen, ist nur Sie ein und ein Mal, das Sie YouTube ist. Dies liegt daran, dass man die multiplizierende Identität in den reellen Zahlen ist. Lassen Sie uns das einfach als Sie neu schreiben. Ok? Einmal bist du also du. Nun, da unsere beiden erfüllt alle diese 10 Eigenschaften eines Vektorraums sind zwei ist ein Vektorraum . Okay, also haben wir gerade gezeigt, dass auch ein Vektorraum ist. Es ist auch wahr, dass, aber sind in ist ein Vektorraum für jedes Ende größer als zwei. So sind drei, vier oder fünf und so weiter. Und so weiter. Delta, Das sind alle Vektorräume 28. Vektorraum zusätzliches Beispiel: das Beispiel unseres N ist nicht das einzige Beispiel für Vektorräume. Vektorräume könnten sehr unterschiedlich sein in, ähm, wie siehst du aus? So, zum Beispiel, dieser Satz m sagte M n, das ist die Menge aller, und durch n Matrizen mit Matrizen Addition und Scaler-Multiplikation, die einen Vektorraum bildet Okay, . also sind die Vektoren in diesem Fall Matrizen, was ein wenig seltsam ist, aber es ist in Ordnung, wenn es die Eigenschaften des Vektorraums erfüllt. Es ist ein Vektorraum. Ok. Ein weiteres Beispiel ist die Menge aller Paulino Mahlzeiten Grad, kleiner oder gleich Ende, die auch einen Vektorraum bildet. Okay, die Vektoren in diesem Fall sind Paulino-Mahlzeiten. Lasst uns ein Beispiel machen. Schauen wir uns P zwei an. Das ist die Menge aller Paulino-Mahlzeiten des Grades, weniger als oder gleich zwei. Okay, das ist ein Vektorraum. Wir wollen versuchen, das zu beweisen, also müssten wir alle 10 Eigenschaften des Vektorraums zeigen. Okay, lasst uns versuchen, die ersten paar Eigenschaften zu beweisen. Lassen Sie f g und H liegen in p zwei und lassen Sie CND b Skala er s f von X gut so aussehen Es ist ein Polynom zweiten Grades, wo die Koeffizienten eine Null a eins zwei sind . Das sind nur Konstanten. Diese Luftnummern G werden auch so aussehen. Sagen wir einfach, es ist zu X Quadrat plus B ein X Plus B Null, wo die Bienen echte Zahlen sind und h es wird ein ähnliches zweites Grad-Polynom sein. Sagen wir es einfach. Siehe T X quadriert plus C ein x plus C Null und der Koeffizient C Null c eins C zwei diese Luft. Nur echte Zahlen. Okay, die erste Eigenschaft, die wir zeigen wollen, ist Schließung unter Zusatz. Also nehmen wir das plus G von X. Nun, per Definition, per Definition, das ist f von X plus G von X. Okay, lassen Sie Recht, äh, in Bezug auf das, was es als Polynom ist. Hey, das ist richtig, G als das, was es ist als Polynom. Nun fügen Sie diese beiden Paulino-Mahlzeiten hinzu, indem Sie die Koeffizienten hinzufügen. Also, das sind acht. Um ein zwei plus B zwei X quadriert zu schlagen, plus ein eins plus B ein x plus eine Null plus B Null. Okay, jetzt sind die Koeffizienten hier, zwei plus B zwei. Das ist eine Zeilennummer A eins plus B eins ist eine reelle Zahl, und eine Null plus B Null ist eine reelle Zahl. Okay, also alle Koeffizienten sind real und ah, Grad hier ist bis zu dem Grad dieses Polynoms ist zwei oder weniger, weil diese co Fischen direkt hier Null sein könnte. Okay, das bedeutet also, dass F plus G in P zwei liegt. Okay, schauen wir uns die zweite Eigenschaft F plus G von X an. Das ist f von X plus g X, per Definition. Okay, das ist also ein zwei x Quadrat, plus ein 1 X plus eine Null. Lassen Sie uns gs die Polynome Oops neu schreiben, B zwei x quadriert, plus ein x plus B Null sein. Jetzt kombinieren wir die beiden Paulino-Mahlzeiten, indem wir die Koeffizienten hinzufügen. Nun, da die Begriffe hier und sein, das sind reelle Zahlen, so können wir die Kommunikationsfähigkeit der Regeln verwenden . Dasselbe hier. Ein eins plus B eins, das B eins plus eins ist. Ok. Und wir können diese hier umstellen, um Null plus Null zu sein. Nun, lassen Sie uns das aufbrechen. Okay, brechen Sie das in die Paulino-Mahlzeiten auf. Mir ist aufgefallen, dass das hier nur G ist, und das ist, uh und per Definition , das ist G plus f von X. Okay, Also f plus G f plus g ist das gleiche wie G plus f. und das ist, uh und per Definition, das ist G plus f von X. Okay, Also f plus G f plus g ist das gleiche wie G plus f. hier. Schauen wir uns die dritte Eigenschaft an, die Assoziation ist. Wir wollen zeigen, dass dies bei plus G plus h gleich ist. Okay, also nehmen wir diese Funktion. Diese Funktion von X ist f von X plus sie plus h von X, es ist f von X plus G von x plus h von x. Okay, lasst uns f so neu schreiben, und G und H Okay , also haben wir dieses Plus Okay, lassen Sie uns diese Koeffizienten hier kombinieren. So bekommen wir B zwei plus c zwei X quadriert plus B eins plus C eins x plus B Null plus Caesar. Okay, jetzt fügen Sie die Koeffizienten hinzu. Wir kriegen das. nun Beachten Sienunin diesem Koeffizienten können wir die Klammern mit Assoziativität gegen die reellen Zahlen austauschen. Dasselbe gilt für diese Koeffizienten. Okay, jetzt lassen Sie uns das auseinanderbrechen, okay? Wir haben dieses Polynom plus dieses Polynom, okay? Und wir können diesen Teil hier in zwei andere Paulino-Mahlzeiten aufteilen. Okay Okay , aber jetzt ist das hier, das ist nur f von X und das ist G von X das ist eine Kirche von X. , aber jetzt ist das hier, das ist nur f von X, und das ist G von X, das ist eine Kirche von X. Und das hier können wir als F plus g X umschreiben, dann diese ganze Sache als f plus G plus h von X umschreiben. Okay, also f plus G plus Alter. Das ist das gleiche wie F plus G plus h. Okay, hier haben wir F plus G plus H und so. Am Anfang hatten wir F plus G plus h. Und wir zeigen, dass sie die gleiche Funktion waren, als wir sie auf X angewendet haben. Und so ist das, was wir hier haben. Ok? Assoziativität hält. 29. Zusätzliches Beispiel fortgeschritten: Okay, schauen wir uns Immobilien vier an. Lass Null das Polynom sein, so dass, wenn du als nächstes einsteckst, du nur Null bekommst. Okay, dann. Null plus f Wenn wir es auf X anwenden, erhalten wir Null von X plus f von X, aber Null von x Null und f von X Ist, dass Paulino Mahlzeit, die hier Null hinzufügt, wird es zu einer Null hinzugefügt aber es tut nichts. , Also geben wir Ihnen nur eine Null zurück und das ist f von x. okay, also null plus f ist f Okay, also haben wir ein Null-Element, das Null-Polynom jetzt für die fünfte Eigenschaft, die Umkehrung, die additiv umgekehrt, die additive umgekehrt von f negativ und das wird dadurch definiert. Wenn wir negative F zwei X anwenden, erhalten wir negative f von x. okay, also F plus negativ f, wenn wir das auf X anwenden, erhalten wir f von X plus negativ f von X, das ist f von X minus ffx. Das gibt uns Null, was gleich Null von X ist. Daher ist f plus negativ f Null. Okay, also gibt es eine additive Umkehrung davon für jedes F in P zwei. In Ordnung, wir haben die ersten 5 Eigenschaften eines Vektorraums gezeigt, der auf P 2 angewendet wird. Jetzt möchte ich, dass Sie versuchen, die fünf verbleibenden Eigenschaften eines Vektorraums für P zwei zu beweisen. 30. Beispiele von Sätzen, die nicht Vektorbereiche sind.: in dieser Vorlesung werden wir uns Beispiele von Sets ansehen, die keine Vektorräume sind. Für das erste Beispiel, betrachten Sie die Menge von Paulino Mahlzeiten, die Grad Genau haben. Zwei. Okay, wir wollen zeigen, dass dies kein Vektorraum ist. Okay, lass f von X dieses Polynom sein und g dieses Polynom sein. Ok? Hinweis f hat Grad zu und G hat Grad auch nein, mal sehen, was passiert, wenn wir f n g hinzufügen. Okay, so ist das f plus g. Okay, sammeln Sie alle Lichtbegriffe die X quadrierten Begriffe abbrechen und wir bekommen drei X plus sieben. Okay, also f plus G hat Grad eins. So f plus G ist nicht in der Menge von Paulino Mahlzeiten, die Grad in Ordnung haben , F und G selbst haben Grad genau zwei. Aber wenn Sie FND hinzufügen, erhalten Sie nur ein Ein-Grad-Polynom. So liegen die etwas F plus e g nicht im Originalset. Okay, Also Schließung unter Zusatz nicht halten. So bildet der Satz aller Paulino Mahlzeiten Grad nicht einen Vektorraum. Werfen wir einen Blick auf ein anderes Beispiel. Betrachten wir Z bis Z zwei ist kein Vektorraum. Ok. Z zwei ist die Menge aller Paare mn, wo m und N ganze Zahlen sind, so m unaufgeklärt z Okay, lassen Sie 23 sein und lassen Sie uns sehen, Seien Sie der Skalierer 1/3 dann sehen Sie mal 1/3 mal 23 das ist 2/3 1 Und das liegt nicht in Z zwei da 2/3 kein Interesse ist. Dein okay bis Donnerstag lügt nicht Z, also liegt dieses Paar hier nicht in Z zwei. Okay, so sehen Sie nicht Zeile z zwei, was bedeutet, dass die Schließung unter Scaler-Multiplikation nicht OK hält , da schließen Sie Ihre unter Scaler Multiplikation Z zwei nicht hält, ist kein Vektorraum. 31. Subspace und Subspace: in diesem Abschnitt werden wir uns die Unterräume ansehen. Eine Teilmenge w eines Vektorraums V ist ein Subraum von e. Wenn w nicht leer ist und ein Vektorraum selbst mit den gleichen Operationen wie V, zum Beispiel die Menge w durch die Menge aller Paare X Null gegeben, wobei X Israel ein Subraum von ve Gespenst sind es auch. Okay, wenn wir uns die X Y-Ebene als alle Punkte in dieser Ebene bilden, der Vektorraum auch. Aber W ist die Teilmenge unserer beiden, die aus diesen Punkten entlang der X-Achse besteht. Okay, also x Null, das Weiße Corning in Null. Es werden also nur all diese Punkte hier auf dieser X-Achse sein. Okay, die Behauptung lautet, dass diese Linie, die X-Achse eine Teilmenge ist. Es tut mir Leid. Ein Subraum des größeren Raums sind auch. Okay, , um zu zeigen,dass w ein Subraum unserer beiden ist, müssen wir zeigen, dass W all diese 10 Vektorraumeigenschaften hat. Okay, was ich meine ist, dass man normalerweise alle 10 dieser Vektorraumeigenschaften anzeigen müsste . Glücklicherweise müssen wir nicht all diese Eigenschaften zeigen. Wir müssen nur ein paar davon zeigen. Also müssen wir den Schließungseigenschaften zeigen und wir müssen zeigen, dass w nicht leer ist. Und um zu zeigen, dass w nicht leer ist, können wir zeigen, dass es den Nullvektor enthält. Okay, also lassen Sie mich die Subraum-Eigenschaften in Ordnung bringen. Subraum-Eigenschaften. Ok, es gibt nur drei von ihnen. Die 1. 1 der Nullvektor, liegt in W zu Summe von zwei Vektoren von W liegt in w. Okay, dies wird als Schließung unter Addition bezeichnet. Und die dritte Eigenschaft ist, dass C mal Sie in W liegt, wo C ein Scaler ist, und u ist ein Vektor von w. Okay, das wird Schließung unter Scaler Multiplikation Fähigkeit genannt. Äh, Multiplikation. Okay, lassen Sie uns ein Beispiel machen. Nehmen wir an, W ist die Menge aller X Null, wo X in unserem und der große Raum V ist unser zu Okay, schauen, XB Null, dann x Null ist 00 und Null liegt in unserem so Null-Vektor , der 00 liegt in w. Okay, jetzt für die zweite Eigenschaft, lassen Sie X Null sein und V b Y Null, wo x und y unser riel. Okay, ich habe gerade zu beliebigen Vektoren ausgewählt, die Sie von W beneiden wollen Jetzt hinzufügen u und V Okay, also jetzt bekomme ich X Plus. Warum Null? Und das liegt in W, da X plus y in unserem okay liegt, X plus y liegt in unserem und so ist die erste Komponente ländlich und die zweite Komponente ist Null. Aber das ist genau das, was w ist. Es sind alle diese Paare, zB Null. Wo die erste Komponente Israel. Okay, also das hier liegt in W Now für das dritte Anwesen. Mal sehen, ein Geschick er sein und lassen Sie ein Element x Null in w dann mal sehen Sie gleich c mal x Null, das ist C x c Null, aber sehen Sie Zeit 00 Hey! Und das tut Löwe w. Denn sehen Sie, Ex liegt in unserem okay. Da C und X beide reelle Zahlen sind, Wenn ich sie multipliziere, bekomme ich eine reelle Zahl. Und so ist diese erste Komponente Israel, die zweite Komponente ist Null. Und so liegt dieses Gespenst in w. Okay, also haben wir Schließung unter Scaler-Multiplikation. Also w ist ein Subraum unserer beiden 32. Definition von Trivial und Nontrivial Subspace: die Teilmenge, die nur aus dem Nullvektor besteht, ist ein Subraum des Also die Menge, die nur aus dem Nullvektor besteht. Okay, das ist ein Subraum von E. Und es nennt sich der Null-Subraum, der Null-Subraum, der Satz V selbst. Das ist auch ein Subraum dieser beiden Subräume Luft genannt triviale Subspaces. Okay, diese trivialen, trivialen Subräume, ein nicht-trivialer Subraum ist jeder Subraum von E, der nicht der Null-Raum ist, und es ist nicht V selbst. Okay, denken Sie daran, W W ist ein Set, bestehend aus allen Eiern Null, wo X Israel. Okay, wir zeigen, dass w ein Subraum unserer beiden ist und w Es ist nicht der Null-Subraum, weil er Elemente enthält, die andere als der Nullvektor sind. Also, zum Beispiel, es enthält 10 okay, und das ist nicht Null. Das ist kein Null-Vektor. Also w ist nicht der Null-Subraum, okay? Und w ist nicht der ganze Raum sind auch, weil es nicht enthalten andere Elemente in unserem zum Beispiel, sagen 23 Dies liegt in unserem zu den großen Raum, aber es liegt nicht in W, weil die zweite Komponente nicht Null ist. Okay, also w ist ein nicht trivialer Subraum unserer beiden 33. Zusätzliches Beispiel des Subspace: Schauen wir uns ein anderes Beispiel für einen Subraum an. Betrachten Sie die Menge w aller Matrizen der Form eine Null bc. Dies ist ein Subraum von M sub 22 m sub Tutu ist der Satz aller zwei durch zwei Matrizen. Okay, jetzt wollen wir diese drei Subraum-Eigenschaften für W. anzeigen Okay, wenn wir das tun können, dann hätten wir gezeigt, dass w ein Subraum von m 22 Ok ist, die erste Eigenschaft. Sieh nach A B und C B Null. Dann liegt die Nullmatrix 0000 in w Okay, hier ein B und C. Diese müssen nur wirklich Zahlen sein. Und Null ist eine reelle Zahl. Okay, also haben wir überall Nullen hier. Diese Null hier oder diese Position genau hier. Das muss Null sein, und das ist es. Diese Null-Matrix liegt also im Set. W Jetzt für die zweite Eigenschaft. Lassen Sie uns zwei beliebige Elemente auswählen in w sagen, Sie sind dies und V ist dies Let u und V B in w Okay. Wir wollen zeigen, dass u plus V liegt auch in w Okay, u plus V. Das ist gleich dieser Matrix. Plus dies Lassen Sie uns voran und fügen Sie hinzu. Ok. Beachten Sie nun, dass A plus D B plus e und C plus f Das sind alle reellen Zahlen. Und diese vierte Position ist Null. Also das liegt jetzt in W für die dritte Eigenschaft, lassen Sie eine Matrix in W sein und k ein Scaler sein. Dann nehmen Sie Kate mal Sie und wir wollen zeigen, dass k u liegt in w Okay, das ist multiplizieren die K durch. Nun, Kate, Times A ist eine echte Zahl K b und K c diese Luft auch Riel, weil wir nur echte Zahlen multiplizieren . Und diese vierte Position ist Null. Also, ja, das liegt in W. 34. Untermen, die nicht subspaces sind: in dieser Vorlesung werden wir uns Teilmengen ansehen, die keine Unterräume sind. Okay, lassen Sie uns einen Blick und ein Beispiel nehmen. Lassen Sie WB die Menge aller Paare Ex X quadriert wo X real ist, dann bemerkte, dass w eine Teilmenge unserer beiden ist. Okay, wenn man sich die zweite Komponente anschaut, ist ihr X quadriert. Also wirklich, es wird die Grafik von Lycos zwei X quadriert sein, die eine Parabel ist. Sieht so aus. Okay, eine Parabel im Flugzeug. Nein. W wird der Satz aller Punkte auf diesem Sonbel sein. Ok? Und es ist eine Teilmenge unserer beiden, weil es in oder zwei enthalten ist. Aber es ist kein Subraum unserer beiden. Und wir werden dies sehen, indem wir diese drei Subraum-Eigenschaften überprüfen. Wenn eine dieser Subraum-Eigenschaften fehlschlägt, dann wissen wir, dass es sich nicht um einen Subraum handelt. Okay, lassen Sie uns die erste Eigenschaft überprüfen. Okay, Nun, was ist, wenn wir x Null sein lassen, dann X X quadriert ist Null Null Quadrat, das ist Null. Ok. Und so liegt Null in W. Wenn wir uns die Grafik ansehen, ist 00 der Ursprung. Es ist genau hier, und es liegt auf diesem Graphen Fall von 00 Vektor Realisierung w Lassen Sie uns die Schließung unter Zusatz überprüfen . Okay, so lassen Sie Sie von diesem gegeben werden und v durch diese gegeben werden. Ok? Ich habe dich gerade von W. beneidet dann fügen wir die zusammen. U plus v. Okay, also das ist X plus y Komma X quadriert plus Junge quadriert. Und die Frage ist, liegt das in W? Nun, es wäre, wenn diese zweite Komponente das Quadrat der ersten Komponente wäre, aber normalerweise X quadriert. Plus y quadriert ist nicht das gleiche wie X plus y quadriert. Ok. Zum Beispiel, 11 und 24 Liegen w. Aber wenn wir diese zusammen hinzufügen, bekommen wir drei Komma fünf. Aber das liegt nicht in W, denn fünf sollten drei Quadrat sein, das ist neun, aber fünf ist nicht neun. Also liegt es nicht in w. Okay, so dass die Schließung unter Zusatz fehlschlägt. Okay, da die Schließung unter Zusatz fehlschlägt, hat Schwächung hier gestoppt. Wir wissen, dass w kein Subraum unserer beiden ist. jedoch Lassen Sie unsjedochvoran gehen und überprüfen Sie die dritte Eigenschaft. Wie auch immer, mal sehen, ob es unter Scaler nahe ist. Mehrfachmultiplikation. Okay, lass dich x X quadriert sein und lass uns über Scaler sehen, als mal sehen, wenn du C X mal oder c X und C X quadriert bist. So liegt das auch in W. Schauen wir uns die zweite Komponente an. Das sollte die erste Komponente im Quadrat C X sein, aber siehe X quadriert ist C quadriert, X quadriert. Und im Allgemeinen wird das nicht gleich c X quadriert. So C X quadriert. Ist das gleich C quadriert X quadriert, normalerweise nein. Zum Beispiel, wenn wir CB drei lassen und lassen Sie sein, um zu kommen, bevor dann sehen Sie Zeit ist Sie dreimal bis vier nicht gleich 6 12 OK, aber 12 ist nicht sechs Quadrat, das ist 36. Okay, also schlägt die Schließung unter Scaler-Multiplikation auch fehl. Da eine der Eigenschaften eines Subraums fehlschlägt, Wir wissen, dass w kein Subraum von oder zwei ist. 35. Untermen, die kein zusätzliches Beispiel sind: Okay, schauen wir uns ein anderes Beispiel für eine Teilmenge an, die kein Subraum ist. Okay, lassen Sie WB die Menge aller zwei durch zwei Matrizen, die nicht in vertebralen zeigen. Das w ist kein Subraum von m sub 22 Okay, schauen wir uns die Subraum-Eigenschaften an. Die 1. 1 ist, wo der Z-Rollenvektor liegt. W Okay, die erste Eigenschaft ist tatsächlich wahr, weil die Null-Matrix tatsächlich liegt w, weil sie nicht konvertierbar ist. Wenn Sie hier die Determinante berechnen, erhalten wir Null. Also, um, Null-Matrix ist nicht in der Wirbelsäule und daher Löwe w. Okay, also lassen Sie uns auf die zweite Eigenschaft Schließung unter Zusatz gehen. Okay, lass eine diese Matrix sein und lass diese Matrix sein, okay? Nein, und seien sie beide nicht in Wirbel, denn wenn man die Determinanten eines berechnet, das ist sechs minus sechs, was null Determinante von B ist. Nun, das sind sechs minus sechs, was Null. Ok. Und da die Determinanten Null A und B sind nicht in vertebralen. Okay, also ein und liegen in w. Lassen Sie uns hinzufügen und sein, wenn wir sie hinzufügen, bekommen wir 10 Null minus Geschichte. Ok? und die Determinante davon ist minus drei, was nicht Null ist. Okay, also ist ein Plusb in den Wirbeln. Okay, Aber das bedeutet, ein Plus B liegt nicht in W, weil w erinnern besteht aus den großen Städten , die nicht in vertebralen, aber ein Plus B ist in der Wirbelsäule. Okay, also scheitert die Schließung unter Zusatz, und wir können direkt dort anfangen. Und wir wissen bereits, dass w kein Subraum von m sub 22 ist 36. Spannweite: und dieser Vortrag werden wir über den Begriff der Sparing lernen lassen v ein Vektorraum sein und lassen s von v ein v zwei Punkt ein Punkt VK gegeben werden eine Teilmenge der Wenn jeder Vektor Neid kann als eine lineare Kombination von Vektoren in s geschrieben werden. dann sagen wir dass s Spans V s Spearing V, zum Beispiel, zeigen, dass dieses Set Ausgaben sind in Ordnung, so lassen Sie Sie wollen, dass Sie in unserem zu liegen, wo Sie wollen, dass Sie wirklich Mitglieder sind. Dann können wir Sie auf YouTube umschreiben, wie Sie einmal 10 plus Sie zweimal 01 Und das ist eine lineare Kombination der Vektoren. 10 und 01 So s Spannweiten sind auch. Lassen Sie uns ein anderes Beispiel zeigen, dass dies gegeben wird. Verbringt m sub zwei Komma zwei wobei m sub zwei Komma zwei ist die Menge aller zwei durch zwei Matrizen. Okay, also was ein B c d eine Matrix sein und sagte zu wo a, B, C und d echte Zahlen sind. Dann können wir ein B C D als achtmal diese Matrix plus b mal neu schreiben. Diese Matrix plus C mal diese Matrix plus de mal diese Matrix. Okay, so s Spannweiten und sagte zu Okay, zeigen, dass dieser Satz s durch 10 und 30 nicht Spannweite rt. Okay, Um dies zu zeigen, müssen wir nur einen Vektor in unserem finden, der nicht als eine lineare Kombination der Vektoren in s geschrieben werden kann . Betrachten Sie also gemeinsam, wenn wir in To als lineare Kombination von 10 und 30 schreiben könnten , würde dies einmal den ersten Vektor plus C zweimal sehen. Der zweite Vektor entspricht zu für einige Scaler sehen Sie einen und sehen Sie zu. Aber dann bedeutet das, dass C eins Null plus drei c 20 gleich zwei Komma zwei ist. Also bekommen wir das und die Koordinaten gleichzusetzen, bekommen wir das. Okay, aber hier haben wir Null gleich zwei, was ein Widerspruch ist. Daher s nicht verschont sind in Ordnung, weil wir einen Vektor zwei Komma zwei gefunden haben, die nicht als lineare Kombination geschrieben werden können. Ach, 10 und drei Zer. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. Zeigen Sie, dass uns durch diese Show gegeben , dass wir nicht ausgeben und unter zwei zu. Ok, bedenken Sie diese Matrix. Wenn diese Matrix könnte als lineare Kombination geschrieben werden Ah, die Matrizen in s. Dann hätten wir einmal die erste Matrix plus C zweimal die zweite Matrix plus Sitz dreimal die dritte Matrix plus C viermal die vierte Matrix sehen . Matrix gleich dieser. Okay, jetzt multiplizieren. Ähm, die Koeffizienten sehen einen in diese Matrix. Wir haben das hier und machen das Gleiche. Voraussehen, auch, und so weiter. Okay, jetzt füge die Matrizen und wir kriegen das. Ok? Jetzt, jeden Eintrag gleichsetzen, bekommen wir das. Ok? Bilden Sie nun die erweiterte Matrix für dieses Gleichungssystem. - Versuchen Sie, das von Ghazi zu lösen. Eine Eliminierung. Also lasst uns auch Zeile eins minus Wurzel machen. - Okay , jetzt lasst uns Zeile zwei minus Rhodri machen. Und lasst uns Rhodri plus Reihe für OK machen. Beachten Sie, dass in dieser letzten Zeile haben wir Null gleich negativ vier, was ein Widerspruch ist. Okay, also hat das System keine Lösung und sind daher Matrix. 12 für einen kann nicht als lineare Kombination der Hauptsaison s geschrieben werden, so dass s nicht überspannt M sub 22 37. Spannweite einer Subsatz eines Vektorraums: Wir haben einige Beispiele von Teilmengen s eines Vektorraums V gesehen, die nicht alle von e umfassen. Allerdings, wenn wir die Menge aller linearen Kombinationen von Vektoren nehmen und werden s durch diese gegeben, wenn wir nehmen, um, die Menge aller lineare Kombinationen Vektoren in s dieser Satz wird einen Subraum von e bilden Die Menge einer linearen Kombinationen Vektoren und s wird die Spanne von s genannt und es ist wie folgt bezeichnet. Die Spanne dieses erinnern an unser vorangegangenes Beispiel. Wo s war dies und sein war unser, wir sahen, dass s nicht alle unsere beiden spannt. Allerdings, wenn wir den Satz aller linearen Kombinationen uh, 10 und 30 wir bekommen die Spanne von Das ist die spanische US ist gleich dem Duft der ole linearen Kombinationen von einem Mädchen und 30 C eins und C zwei sind reelle Zahlen, und wir kann zeigen, dass dies gleich dem Duft aller Scaler-Vielfachen ist. Um, 10 Okay, also lassen Sie uns zeigen, dass, wenn das in der Spanne von s liegt, dies gleich ist, indem Sie C eins und C zwei in jeden Vektor multiplizieren und sie addieren. Wir kriegen das und ziehen das raus, kriegen wir das. Also, wenn wir Kay diesen Skalierer sein lassen, dann ist unsere ursprüngliche lineare Kombination gleich K mal 10 Und das liegt in Dissens aller Scaler-Vielfachen von 10 Okay, also ist die Spanne von s eine Teilmenge des Duftes aller Scaler-Vielfachen eines Juror. Okay, nein, lassen Sie Kate mal 10 liegen in der Menge aller Scaler-Vielfachen von 10 Dann que mal 10 ist gleich que mal 10 plus Null mal 30 Also lassen Sie uns sehen, ein b k und sehen, um Null als K mal 10 kann geschrieben werden, wie siehe ein mal 10 plus C zweimal 30, wobei c eins K und C zu einer Null ist. Deshalb haben wir, dass dies in der Spanne von uns liegt. Daher die Menge aller Scaler-Vielfachen von 10 eine Teilmenge der Spanne von uns. Okay, jetzt, da die Spanne von uns eine Teilmenge der Menge aller Scaler-Vielfachen von 10 ist und das heißt auch eine Teilmenge der Spanne von uns ist. Die beiden Sätze sind gleich. Okay, also besteht die Spanne von Fragen aus allen Scaler-Vielfachen. Ah, die 0,1 Juror im Flugzeug sind auch. Okay, lassen Sie mich das zeichnen. Hier. Hier ist die Ebene, die X-Achse und die Y-Achse. Und hier ist eine Ihrer und lassen Sie mich einen Pfeil vom Ursprung bis 10 zeichnen Okay, wir können uns 10 als einen Pfeil im Flugzeug-Scaler vorstellen. Vielfaches des Vektors 10 Geben Sie uns einfach mehr Punkte auf der realen Linie. Die Spanne von s ist also der gesamte Rial, der im Flugzeug liegt. Auch wenn es nicht alle unsere beiden umfasst. Es überspannt die gesamte reale Linie und ist ein Subraum unserer beiden. 38. Lineare Unabhängigkeit 2: der Begriff der linearen Unabhängigkeit neben dem Begriff der Spannweite ist ein wichtiger Begriff in der linearen Algebra Angenommen s wird von diesem V durch VK gegeben. Angenommen s ist eine Teilmenge eines Vektorraums V Wenn die Vektorgleichung ein V eins plus dr dot plus ck VK gleich Null sehen . Wenn diese Vektorgleichung nur die triviale Lösung hat, ist die triviale Lösung, wo c man sieht zu Punkt, Punkt, Punkt ck unsere alte Null. Wenn diese Vektorgleichung also nur die triviale Lösung hat, wird die Menge s linear unabhängig eingestellt . Okay, sonst das Ah, ist das Ah,um linear abhängig zu sein? Ok. Zum Beispiel, lassen Sie s durch diese Menge gegeben werden A Teilmenge Ah sind zu zeigen, dass s linear unabhängig ist. Okay, also nehme ich an. Sehen Sie, einmal der erste Vektor plus C zweimal Der zweite Vektor ist gleich Null zeigen, dass C eins und C zwei beide Euro sind. Okay, also haben wir C ein mal 10 plus t zweimal du bist ein Eins und das ist gleich Null Doktor bedeutet , dass wir das bekommen, nachdem wir das C eins und C zwei in jeden Vektor multipliziert haben. Jetzt fügen wir jetzt hinzu, da diese beiden Vektoren gleich sind ihre Komponenten oder gleich und daher C eins und C zwei oder bauen Sie Ihre eigenen. Die Vektorgleichung, die früher dieser Vektorgleichung gegeben wurde, hat also nur die triviale Lösung. Daher ist s linear unabhängig. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. Angenommen, s wird durch diese Menge eine Teilmenge unserer beiden zeigen, dass s linear abhängig ist. Okay, nehmen Sie an, ein Mal das erste Gespenst plus C zweimal ein zweiter Vektor ist Null. Finden Sie eine nicht-triviale Lösung. Okay, also haben wir von hier aus einen Geschworenen plus drei c 20, das gleich Null ist. Hinzufügen der beiden Vektoren erhalten wir dies. Also, wenn wir jede Komponente gleichsetzen, bekommen wir das. Und für die zweite Komponente ist Null gleich Null. Okay, also kümmern wir uns nur um die erste Gleichung hier. Beachten Sie, dass C zwei alles sein könnte. Also lasst uns sehen, um t ein Parameter zu sein, der einen löst. Ich bekomme das und einstecken, t ich das. Ok. Und sehen Sie, zwei ist t. Also lasst t b eins dann sehen, eins ist minus drei und C zwei ist eins. Okay, also steve warn gleich minus drei C zwei gleich eins. Das ist eine nicht triviale Lösung. Das ist also eine nicht triviale Lösung. Wählen Sie die Vektorgleichung, die wir zuvor hatten. Ok? Und Sie können das überprüfen, wenn ich minus drei für C eins und eins für C zwei einstecke. Das verstehe ich. Diese Gleichung ist wahr. 39. Lineare Unabhängigkeit oder Abhängigkeit bestimmen: Lassen Sie uns noch ein paar Beispiele machen. Lassen Sie uns von diesem gegeben werden. Eine Teilmenge der Arterie bestimmt, ob s linear unabhängig oder linear abhängig ist . Okay, nehmen Sie an, ein Mal der erste Vektor plus C zweimal den zweiten Vektor plus C dreimal. Aber dort ist Victor gleich Null. Dann bekommen wir C eins plus zu plus drei C drei gleich Null hier zu sehen. Ich habe nur , die ersten Komponenten addiert,die dasselbe für die zweiten Komponenten tun. Ich verstehe das. Und schließlich, für die dritte Komponente, bekomme ich das. Okay, also haben wir ein System von Gleichungen. Lassen Sie uns die erweiterte Matrix bilden und beginnen, Galaxie und Elimination zu tun. Okay, hier ist die Matrix. Okay, also lasst uns Rolle eins plus Weg zu Let uns do Wondered machen. Wachsen Sie auch. Lassen Sie uns Zeile zu minus Rhodri Jetzt, von der zweiten Gleichung, erhalten wir C zwei plus zwei si drei gleich Null. Lasst uns sehen. Drei sein t. Also sehen, ist minus zwei T. Und von der ersten Gleichung erhalten wir C eins plus zwei c zwei plus drei C drei gleich Null. Also C eins plus zwei Mal sehen zwei. Welches ist das? Plus drei Mal Sitz, während der T ist Ihr Okay, also bekommen wir das und lösen vier C eins. Ich bekomme Tee, also C eins gleich zwei t si zwei ist minus zwei T und C drei ist T. Nun, t könnte alles sein. Lasst uns, lasst uns eins sein. So sehen Sie, eins ist eins und si zwei ist minus zwei und C drei ist eins. Okay, das ist also eine nicht triviale Lösung für die ursprüngliche Vektorgleichung. So ist s linear abhängig. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. Lassen Sie uns durch diese Menge eine Teilmenge von P zwei gegeben werden, wobei p zwei die Menge aller Paulino Mahlzeiten des Grades ist, kleiner oder gleich zwei. Hey, bestimmen Sie, ob s linear unabhängig oder linear abhängig ist. Okay, nehmen Sie an, ein Mal der erste Vektor plus er dreimal den zweiten Vektor plus C. Der dritte Vektor ist gleich Null und Null, Arzt und P zwei ist das Polynom mit Koeffizienten Null überall. Okay, also bekommen wir dieses Polynom plus dieses Polynom plus dieses Ziehen keine Mahlzeit gleich Null plus Null x plus Null x x quadriert. Ok. die Lichtbegriffe kombinieren, bekommen wir das. Okay, jetzt ist dieses Polynom auf der linken Seite gleich dem Nullpolynom auf der rechten Seite, so dass wir alle Koeffizienten gleichsetzen können. Okay, also bekommen wir dieses Gleichungssystem. Lassen Sie uns dies in Augmented Matrix Form schreiben. Und jetzt lasst uns Galaxie und Elimination machen. Lassen Sie uns minus zwei Reihe eins plus Straße zu und minus drei tun. Reihe eins plus Rhodri. Jetzt machen wir minus zwei. Reihe zwei plus Rhodri und Let's Multiply schrieben drei durch negative eins. Okay, wenn Sie sich die Rolle drei ansehen, sagt uns Straße drei, dass C drei eine Null, und schrieb uns, dass c zwei plus vier Sitz drei eine Null. Aber das bedeutet, C zwei plus Null ist Null. Soc zwei ist auch Null. Der erste Raum sagt, ein C eins plus minus zwei C drei ist Null. Sehen Sie also eins minus zwei mal Null ist Null, und so sehen Sie, dass man Null ist. Okay, also C eins, C zwei und C drei oder alte Null und daher hat das System nur die triviale Lösung, und so ist s linear tief. Unabhängiges s ist linear unabhängig Unabhängiges s ist linear unabhängig 40. Basis: Bisher haben wir gesehen, dass eine Teilmenge s, die von den Vektoren V eins bis V k eines Vektorraums V gegeben wird, alle umfassen kann . Wir haben auch gesehen, was es für uns bedeutet, linear unabhängig zu sein. Wenn s beide V umfasst und linear unabhängig ist als s ein Satz, um eine Grundlage für V. Okay,zum Beispiel, zum Beispiel, die Menge s gegeben durch 10 und 01 Dies ist eine Grundlage für unsere zu haben wir in früheren Beispielen gesehen, dass s Spannweiten sind zu und ist linear unabhängig zu sein. In der Tat wird diese Basis als Standardbasis für unsere bezeichnet. Für unsere drei ist die Standardbasis von 100 010 und 001 für Arterie und für unser Ende gegeben. Im Allgemeinen wird die Standardbasis durch 100 Punkt ein 0.0.0 010 Punkt ein 0.0.0 und so weiter gegeben. So und es gibt und Vektoren in diesem Satz ist dies für RN ein Vektorraum könnte eine nicht standardmäßige Basis haben , zum Beispiel zeigen, dass s durch dies eine nicht standardmäßige Basis für unsere in Ordnung ist . Um zu zeigen, dass s eine Grundlage ist, müssen wir zeigen, dass s linear unabhängig ist und Spannweiten sind auch . zuerst Lassen Sie unszuerstzeigen, dass es linear unabhängig ist, nehme ich an. Sehen Sie, einmal der erste Vektor plus C zweimal ist der zweite Vektor Null. Dann bekommen wir diese Gleichsetzung der Komponenten. Wir bekommen dieses System von Gleichungen, Okay, Okay, das Schreiben in Matrixform und tun Zeilenoperationen. Lassen Sie uns minus zwei machen. Reihe eins plus Ruutu. Und aus der zweiten Reihe bekommen wir das. Sehen Sie also zwei. Muss Null sein. Nein, die erste Reihe sagt uns das. Also kriegen wir das. Wenn wir einstecken, C zwei gleich Null und so sehen, ist eins auch Null. Okay, also seit C eins und C zwei oder beide Null, Ähm, sind die ursprünglichen beiden Vektoren inneren Satz s linear unabhängig. Okay, als nächstes zeigen wir, dass Spans oder zwei sind. Also lassen Sie wollen, dass Sie ein beliebiger Vektor sind und auch. Okay, wir müssen zeigen, dass es Skala gibt. Er ist C eins und C zwei so das. Siehst du, einmal der erste Vektor plus C zweimal. Der zweite Vektor ist gleich, wie Sie möchten. Okay, also hier haben wir die linke Seite gleich dem. Okay, also wollen wir C eins und C zwei so, dass dieser Vektor dir gleich ist. Willst du das. Wenn wir die Komponenten gleichsetzen, erhalten wir ein System von Gleichungen wie das. Lassen Sie uns dies in Matrixform schreiben und Rollenoperationen durchführen. Also lasst uns minus zwei machen. Reihe eins plus Route zu Lasst uns tun 1/7, Reihe zwei. Okay, jetzt machen wir zwei Wege zu plus Reihe eins, jetzt machen wir zwei Wege zu plus Reihe eins, okay ? okay Und das ein bisschen zu vereinfachen. Wir kriegen das. So sehen Sie, man ist gleich diesem und sehen, zu ist gleich diesem. In Ordnung, also haben wir eine Lösung, und deshalb sind auch die Spannweiten. Okay, lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. Zeigen Sie, dass s von diesem gegeben ist eine Grundlage für M sub 22 die Menge aller zwei durch zwei Matrizen. In einem vorherigen Beispiel haben wir bereits gezeigt, dass s M sub zwei gemeinsam umfasst, müssen wir nur zeigen, dass s linear unabhängig ist . Nehmen wir also an, C einmal der erste Vektor plus C zweimal pro Sekunde plus C dreimal das dritte plus e viermal vorher ist gleich Null. Dann kriegen wir das. Plus dieses Plus das. Plus, das alles ist, dass Sie gehen zu Null jetzt addieren alle diese Matrizen und das ist gleich Null. Aber dann, wenn wir die Einträge jeder Matrix gleichsetzen, erhalten wir C 10 sehen auf eine Null C drei und C vier oder beide Null. Okay, so dass alle Meere Null sind und daher s linear unabhängig ist und da S linear unabhängig ist und sich über zwei Komma zwei SZ-Basis erstreckt und außerdem s die Standardbasis für M sub zwei Komma zwei ist die Standardbasis für PN Diese essbare Paulino Mahlzeiten Grad Lust Enrico zu Ende wird durch gegeben, so zu setzen. Okay, das ist die Standardbasis für PN. Wie Sie sehen können, sind die Vektoren in einer Basis wie die Bausteine für alle anderen Vektoren im Vektorraum V. Es stellt sich heraus, dass, wenn V eins bis V. K. eine Grundlage für V ist, um, nicht nur kann jeder Vektor in V als lineare Kombination v eins bis V. K dargestellt werden , sondern die Darstellung ist einzigartig. Que, zum Beispiel, in p zwei Paulino me 03 plus X minus, X quadriert kann als eine lineare Kombination der Vektoren geschrieben werden. Ein x x x Quadrat. Ok, so wie das. Also ist es dreimal eins plus ein mal x plus. Negativ einmal X quadriert. Okay, also kann dieses Polynom als lineare Kombination aus einem x und X in einem Quadrat und Onley auf eine Weise geschrieben werden , nämlich auf diese Weise. 41. Dimension: Eine wichtige Tatsache über Basen ist, dass, wenn ein Vektorraum V eine Basis hat, die aus n Vektoren besteht, als jede andere Basis für V in Vektoren hat , zum Beispiel, wir sahen, dass Dissens, bestehend aus einem x X Quadrat ist eine Grundlage für P zwei. Es stellt sich heraus, dass dieses Set auch eine Grundlage für P zwei ist. Beachten Sie, dass es auch drei Vektoren hat. Jede andere nicht standardmäßige Basis für P zwei hat drei Vektoren. Wir sind jetzt in der Lage, die Dimension eines Vektorraums zu definieren. Wenn V eine Basis hat, die aus Vektoren besteht, dann ist die Bemaßung a V die Anzahl der Vektoren. In der Basis Die Dimension von e ist eindeutig, weil jede andere Basis für V in Vektoren hat . Wir haben bereits gesehen, dass das Set bestehend aus ah 1001 eine Basis für unsere ist. Die Dimension unserer beiden ist also zwei. Betrachtet man einen Subraum w die Menge aller Scaler-Vielfachen von 46 Lassen Sie uns die Dimension von W finden . Jeder Vektor in W kann als Scaler mehrere uh geschrieben werden, 46 Also das Set, bestehend aus nur dem einzelnen Element 46 verbringt W zu setzen, bestehend aus 46, die auch linear unabhängig ist. Denn wenn siehe, Time 46 gleich Null ist, dann ist dies gleich Null. Also, dann bekommen wir das und lösen für C, wir werden Geschworener. Okay, also dieses Set, das aus nur einem Vektor 46 besteht, erstreckt sich nicht nur über W, sondern ist linear unabhängig. Daher ist das gesendete eine Basis vier w. Aber das bedeutet, dass die Dimension von W eins ist. Wir können dies geometrisch sehen, wie wir 46 so transplantieren , W um besteht aus allen Scaler-Vielfachen. 46 Also w besteht aus allen Punkten auf der Linie, die durch den Ursprung gehen und 2.46 Also lassen Sie mich das hier zeichnen . Also haben wir diese Linie, die durch die 0.46 geht, können wir sehen, dass es Sinn macht, dass w ein eindimensionaler Subraum unserer beiden ist. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. Lassen Sie w sein diese essbaren Matrizen der Form wie diese und B sind reelle Zahlen. W ist ein Subraum von m sub 33 Der Duft aller drei durch drei Matrizen finden die Dimension von w Okay, kein Zweifel die Matrix durch diese gegeben ist gleich dieser Matrix plus dieser Matrix, und wir können ziehen, dass ein ELT und ziehen Sie die BL Also können jede Matrix und W als lineare Kombination geschrieben werden, äh, diese Matrix und diese Matrix. So verbringt das Set, das aus diesen beiden besteht, W. Es ist leicht zu zeigen, dass dieses Set auch linear unabhängig ist und somit das Set eine Basis bildet . Vier w Daher ist die Dimension von W zu 42. Koordinaten: wenn X ein willkürlicher Vektor ist, Envy und B ist eine Grundlage für V als X kann als eine lineare Kombination der Vektoren geschrieben werden und so sein, wenn gleich V eins bis VN ist dann X gleich ein v eins plus Punkt zu sehen, Punkt Punkt CN Das Ende für einige Skala er c zu c n der Skala er s eins bis C n oder die Co-Ordinaten von X Co Ordinaten von X relativ zur Basis genannt werden die Vektoren V eins bis V N in den Basen B sind wie Zutaten in einem Rezept und die Skala er's c eins bis C n sagen uns die Menge jeder Zutat benötigt um den Vektor X. Wir nehmen den Betrag C einer von euch eine der Menge. Sehen Sie zwei von V zwei etcetera und Adam Ola, um X gleich zwei c ein b eins plus C t v zwei plus Punkt a dot plus C N v n für einen anderen Vektor zu bekommen. Warum Neid? Wir werden verschiedene Mengen für jede Zutat zu kochen haben, warum wir eine Spalte Matrix bilden können , bestehend aus dem Gericht in seiner von X relativ wie folgt zu sein, siehe ein c zwei Punkt ein Punkt CN. Dies wird die Schnur genannt und es Matrix von X relativ zu sein, und es ist wie dieses X bezeichnet und hier sein. 43. Change: haben wir gesehen, dass ein Vektorraum mehr als eine Basis haben kann. Zum Beispiel ist dieses Set 1001 eine Basis für unser zu. Aber das ist auch. Die 1. 1 ist die Standardbasis, und die 2. 1 ist eine nicht standardmäßige Basis. Es könnte viele nicht standardmäßige Basen geben. Lassen Sie die Standardbasis sein und lassen Sie prim die nicht standardmäßige Basis sein. Wir wollen in der Lage sein, einen Vektor in unseren beiden zu repräsentieren, in Bezug auf B als Vektor in Bezug auf sein prime und umgekehrt. Mit anderen Worten, wir wollen in der Lage sein, die Basis zu ändern. Zum Beispiel, lassen X von für gegeben werden 15 4 15 kann als viermal 10 plus 15 mal geschrieben werden 01 Also das Gericht darin die Coordinaten für X relativ vier und 15. So wird die Co-Ordinaten-Matrix für X relativ durch vier 15 gegeben. Wir wollen die Koordinaten für X relativ prim zu finden. Okay, also wollen wir 4 15 gleich sein, um einmal den ersten Vektor plus C zweimal einen zweiten Vektor zu sehen , so dass 4 15 gleich diesem Vektor ist und die Komponenten gleich zueinander setzen . Wir bekommen das, damit wir ein System von Gleichungen bekommen. Und wenn wir versuchen, dies zu lösen, lassen Sie uns zweimal die erste Gleichung plus die zweite Gleichung negativ machen. Und so bekommen wir C zwei gleich eins und C eins ist gleich sechs. Okay, also 4 15 ist gleich dem sechsmal ersten Vektor, plus einmal dem zweiten Vektor. Okay, also sind die Co-Ordinaten für X relativ prim zu sein, sechs und eins. So wird die Co-Ordinaten-Matrix für Handlungen relativ prim durch 61 In unserem Beispiel haben wir die Basis von B geändert, um Verbrechen zu sein. Für den Vektor X gleich 4 15 Wir wollen in der Lage sein, dies für jeden Vektor in unserem zu tun Aber allgemeiner, wenn V ein n dimensionaler Vektorraum ist, so ist V ein in dimensionalen Vektorraum und sein und prim oder zwei Basen für V. Okay, wenn er also ein Vektorraum ist und sein und prim sind Basis für V, dann wollen wir in der Lage sein, die Basis von B zu ändern, um für jeden Vektorneid primär zu sein. Es stellt sich heraus, dass es einen Weg gibt, dies zu tun. Es gibt eine Matrix p genannt die Übergangsmatrix Übergangsmatrix von den Basen B zu den Basen Prim sein, so dass p mal Die co Ordinate Matrix für X relativ zu sein ist gleich dick Ordinate Matrix für ex relativ prim zu sein. Wenn wir die Co-Ordinatenmatrix für X relativ gegeben werden, können wir einfach mit der Übergangsmatrix P multiplizieren und das Ergebnis wird die Co-Ordinatenmatrix für X relativ prim sein. Es gibt ein Verfahren, um die Übergangsmatrix p gebildet Augmented Matrix zu finden, werden Sie Prime sein und führen Gals Jordan Elimination, um die Matrix so zu erhalten , so dass Sie die Identität haben und was auf der rechten Seite ist p 44. Beispiele von Transition finden: Okay, lassen Sie uns ein paar Beispiele machen. Suchen Sie die Übergangsmatrix von B, um prim zu sein. Wo B dadurch gegeben wird und prim sein wird, wird dadurch gegeben. Okay, also bilden Sie die erweiterte Matrix. Seien Sie prim. Sei so, wir haben 12 minus 23 und dann sind wir okay. Lasst uns Mädels machen. Jordan, Eliminationseintopf minus zwei. Reihe eins, plus Straße zu Okay, also bekommen wir Null sieben minus 21 Lasst uns 1/7 machen, Reihe zwei. Okay, machen wir es zwei Mal. Reihe zwei, plus Reihe eins, und wir bekommen das. Okay, also p a ist diese Matrix. Let's Truck P Times 4 15 ist gleich 61 Lasst uns das überprüfen. Das ist wahr. Okay, es kümmert sich darum, dass P diesen Jungen 4 15 multipliziert und wir haben das, was sich auf 61 reduziert und das ist, was wir früher haben. Okay, lassen Sie uns ein weiteres Beispiel machen. Suchen Sie die Übergangsmatrix von B, um prim zu sein. Wo B durch diese gegeben wird und prim sein. Es wird dadurch gegeben. Okay, also bilden wir die Augmented-Matrix. Seien Sie prim. Seien Sie que so prim sein. Ist das in Ordnung? Und B ist das jetzt führen Mädels. Jordanien Beseitigung. Lassen Sie uns negativ 1/12 machen. Reihe eins. Lass uns 1/4 bro machen. Zahn. Also lassen Sie uns jetzt negative machen. Dreck. Reihe zwei, plus Reihe eins. Okay, also was auch immer Matrix wir hier haben, ist P okay. Angenommen, die X-Koordinatenmatrix für X relativ wird durch negative eine Fliege gegeben. Suchen Sie die Koordinatenmatrix für X relativ prim zu sein. Okay, also nehmen wir die Übergangsmatrix p und multiplizieren mit der Koordinatenmatrix für X relativ , also multiplizieren wir p damit, und wenn Sie das alles multiplizieren, sollten Sie das bekommen. Okay, also wird kein Mais in ihm Matrix für X relativ prim durch diese gegeben. Okay, also lassen Sie uns nachsehen. X ist gleich negativ ein Mal dieses Gespenst plus das Fünffache dieses Vektors. Okay, also X ist gleich dem hier. Nun, lassen Sie uns überprüfen, ähm, auf negative 13/4. Lassen Sie uns zwei Mal diesen Vektor plus negative 13/4 mal einen zweiten Sieger finden. Ok? Und wir bekommen das Gleiche. Es ist auch möglich, die Basis und die andere Richtung von be prime to be zu ändern. Wenn p die Übergangsmatrix scheint, um Übergangsmatrix von B prim zu sein, als p in Vers ist die Übergangsmatrix von Be prime auch, um in unserem Beispiel in Ordnung zu sein Wenn wir wollen, dass die Übergangsmatrix von prim ist, finden wir einfach umgekehrt von p Und ich war gegeben durch diese Seifeninverse wird durch diese Formel gegeben und und die Determinante von P ist negativ 1/12 Okay, Multiplikation all dies aus bekommen wir dies.